Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác thường gặp

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Loại 1: Phương trình thuần nhất với   sin x k và   cos kx

 Dạng phương trình:     a sin x bcos k kx c   .

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b  , ta được

    2 2 2 2 2 2 sin x cos x a b c k k a b a b a b     

.

Do

2 2

2 2 2 2 a b 1 a b a b

               

nên đặt

2 2 2 2 a b cos sin a b a b      

.

Khi đó phương trình trở thành   2 2 2 2 c c cos sin x sin cos x sin x a b a b        

.

Đây là phương trình sơ cấp đã biết cách giải.

 Điều kiện có nghiệm: 2 2 2

2 2 1 a c b c a b

    

2) Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai với sin x và cos x

 Dạng phương trình: 2 2 a.sin x b.sin x cos x c.cos x 0   

 Cách giải: Thực hiện 2 bước sau

- Bước 1: Kiểm tra cos x 0  có là nghiệm của phương trình hay không.

- Bước 2: Khi cos x 0  , chia hai vế phương trình cho 2 cos x ta thu được phương trình

2 a tan x b tan x c 0    .

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.

 Chú ý:

- Với phương trình dạng 2 2 a.sin x b.sin x cos x c.cos x d    ta làm như sau:

Phương trình 2 2 asin x bsin x cos x ccos x d.1    

  2 2 2 2 asin x bsin xcos x ccos x d sin x cos x     

    2 2 a d sin x bsin x cos x c d cos x 0       .

- Ngoài cách giải trên ta có thể áp dụng công thức góc nhân đôi và công thức hạ bậc đưa về phương trình

đã xét ở loại 1.

Cụ thể, 2 2 1 cos2x 1 1 cos2x a.sin x b.sin x cos x c.cos x 0 a. b.sin 2x c. 0 2 2 2         

3) Loại 3: Phương trình đẳng cấp bậc ba với sin x và cos x

 Dạng phương trình: 3 2 2 3 a.sin x b.sin x.cos x c.sin x.cos x d.cos x 0    

 Cách giải: Thực hiện 2 bước sau

Trang 2

- Bước 1: Kiểm tra cos x 0  có là nghiệm của phương trình hay không.

- Bước 2: Khi cos x 0  , chia hai vế phương trình cho 3 cos x ta thu được phương trình

3 2 a.tan x b.tan x c.tan x d 0     .

 Chú ý:

Với phương trình đẳng cấp bậc ba khuyết hệ số chẵn (bậc 3-1) thì cách giải hoàn toàn tương tự.

3 3 3

3 2 2 sin x sin x 1 1 a.sin x b.sin x c.cos x d.cos x 0 a. b . c. d 0 cos x cos x cos x cos x         

    3 2 2 a.tan x b.tan x. 1 tan x c. 1 tan x d 0        .

4) Loại 4: Phương trình có chứa sin x cos x 

 Dạng phương trình:   a. sin x cos x b.sin x.cos x c 0    

 Cách giải: Đặt t sin x cos x 2 sin x 2 t 2 4             

Lại có

2 2 t 1 t 1 2sin x.cos x sin x.cos x 2

    hoặc

2 1 t sin x.cos x 2   .

Thay vào phương trình ta dễ dàng tìm được t, suy ra t sin x x 4 2          

5) Loại 5: Phương trình có chứa tan x cot x 

 Dạng phương trình:     2 2 a tan x cot x b tanx cotx c 0      .

 Cách giải: Đặt 2 2

1 2 sin x cos x sin x.cos x sin 2x t tanx cotx cos x sin x sin x cos x cos2x sin x.cos x sin 2x

     

 

Lại có 2 2 2 2 2 2 t tan x cot x 2 tan x cot x t 2       

Thay vào phương trình ẩn t, tìm được t rồi suy ra x.

6) Loại 6: Một số các phương trình đối xứng tương tự

 Dạng phương trình:   4 4 a sin x cos x bsin 2x c 0    

 Dạng phương trình:   4 4 a sin x cos x bcos 2x c 0    

 Dạng phương trình:   6 6 a sin x cos x bsin 2x c 0    

 Dạng phương trình:   6 6 a sin x cos x bcos2x c 0    

 Dạng phương trình: 4 4 a sin x bcos x c.cos2x d 0    

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x