Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Toán 11 KNTTvCS

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

Trong mặt phẳng cho hai tia , Ou Ov . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om

quay điểm O , theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov , thì ta nói nó quét một góc lượng giác

với tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là ( ) , . Ou Ov

Góc lượng giác ( ) , Ou Ov chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia

Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm. Khi tia Om quay góc α° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo α°. Số đo của góc

lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov được kí hiệu là ( ) , . sd Ou Ov

Cho hai tia , Ou Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là ( ) , . Ou Ov Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên

của 360°. b. Hệ thức Chasles: với 3 tia , , Ou Ov Ow bất kì ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) , , , .360 sd Ou Ov sd Ov Ow sd Ou Ow k k + = + ° ∈

Từ đó suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , .360 sd Ou Ov sd Ou Ow sd Ov Ow k k = − + ° ∈

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

a. Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ: Đơn vị radian: Cho đường tròn ( ) O tâm O bán kính R và một cung AB trên ( ) O . Ta nói cung

AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R . Khi đó ta cũng nói rằng góc  AOB có số đo bằng 1 radian và viết  1 AOB radian = b) Quan hệ giữa độ và radian

01 rad 180 π = và

0 180 1rad . π   =    

b. Độ dài của một cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo α rad thì có độ dài là Rα =  .

CHƯƠNG

I

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

a. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm ( ) 1;0 A làm

gốc của đường tròn.

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm ( ) 1;0 A

( ) ' 1;0 , A − ( ) 0;1 , B ( ) ' 0; 1 . B −

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo α là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

( ) , . sd OA OM α =

b. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giả sử ( ) ; M x y là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu

diễn góc lượng giác có số đo α .

• Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cos . α

cos x α =

• Tung độ y của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là

sin . α

sin y α =

• Nếu cos 0, α ≠ tỉ số sin cos α α gọi là tang của α và kí hiệu là tanα (người ta còn dùng kí hiệu

tgα ): sin tan . cos α α α =

• Nếu sin 0, α ≠ tỉ số cos sin α α gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu

cotgα ) : cos cot . sin α α α =

Các giá trị sin , cos , tan , cot α α α α được gọi là các giá trị lượng giác của cung . α

Chú ý:

a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

b) Từ định nghĩa ta suy ra:

1) sinα và cosα xác định với mọi . α ∈

Hơn nữa, ta có:

( ) ( )

sin 2 sin , ;

cos 2 cos , .

k k

k k

α π α

α π α

+ = ∀∈

+ = ∀∈





1 sin 1

1 cos 1.

α

α

−≤ ≤

−≤ ≤

+

O