Ứng dụng định lý Viète trong các bài toán số học

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIÈTE TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐHỌC

Tạp chí và tư liệu toán học sưu tầm và tổng hợp

Hướng tới VMO 2020

Ngày 14 tháng 12 năm 2019

Tóm tắt nội dung

Trong chương trình toán lớp 9, chúng ta đã được tìm hiểu đến một định lý cực kì nối tiếng đó là định lý Viète, tuy nhiên ứng dụng của nó không chỉcó là biểu diễn mối quan hệcủa các nghiệm trong phương trình đa thức, mà còn ứng dụng trong nhiều mảng khác như sốhọc, đa thức,... Ởbài viết này, chúng tôi sẽgiới thiệu cho bạn đọc một sốcác bài toán sốhọc có sửdụng định lý Viète và nâng cao hơn nữa là phương pháp bước nhảy Viète - Vieta Jumping - đểgiải quyết các bài toán số học hay và khó. Trong bài viết có tham khảo các tư liệu trong và ngoài nước, các bạn xem ởmục tài liệu tham khảo ởcuối bài viết. Mọi ý kiến thắc mắc, đóng góp vui lòng gửi vềđịa chỉ.

1. Doãn Quang Tiến. fb.com/profile.php?id=100016406718327 2. Nguyễn Minh Tuấn. fb.com/tuankhmt.fpt

1 Nhà toán học Francois Viète.

Francois Viète (1540-1603) là nhà toán học Pháp vĩ đại. Ông là người đầu tiên đưa ra các kí hiệu bằng chữ, do thế, người ta gọi ông là người cha của môn Đại số. Tên tuổi của ông gắn liền với một định lí về nghiệm sốcủa phương trình mà học sinh lớp 9 đều biết đó là định lí Viète, nhưng công lao của ông to lớn hơn nhiều.

Ông vốn là một trạng sư, từng làm “cốvấn cơ mật” cho các triều vua Henry III và Henri IV. Giữa những bộn rộn của công việc ởcung đình, hễcó ít phút rảnh rỗi là ông lại giải trí bằng cách... nghiên cứu Toán học! Trong cuộc chiến tranh Pháp... Tây Ban Nha thời ấy, quân Tây Ban Nha thường liên lạc với những kẻnội phản trong nước Pháp bằng các mật thư. Vì được viết bằng các mật mã gồm toàn các chữsố, nên các mật thư ấy hầu như không thểkhám phá được.

Biết vị“cốvấn” Viète thích toán, vua Henry III đã nhờông thửdò tìm “chìa khóa” các mật thư này. Nhận lời, suốt hai tuần lễ, ông làm việc quên ăn quên ngủ. Cuối cùng, chính Viète đã xé tung tấm màn bí mật: ông đã tìm ra quy luật thay thếcác chữvà sốtrong cách viết mật thư. Đọc được các mật thư, quân Pháp đã làm thất bại hoàn toàn những mưu đồcủa Tây Ban Nha. Vềphía địch, chúng gắng dò tìm nguyên nhân: cuối cùng chúng biết được những kí hiệu đã bịphơi trần, dù nhiều lần thay đổi mật mã, và kẻtìm ra bí mật là Francois Viète! Quân Tây Ban Nha tuyên bốViète là kẻtửthù và đã xửán hỏa thiêu vắng mặt ông, nhưng bản án dã man đó không bao giờthực hiện được. Không chỉquan tâm sâu sắc đến Đại số; nghiên cứu các phương trình, Viète còn nghiên cứu cảHình học và Lượng giác. Ông cũng đã khảo cứu kĩ lưỡng nhiều công trình của các nhà toán học thời cổ.

Phần lớn cuộc đời của Viète bịcác công việc pháp lí của nghềtrạng sư chiếm mất nên khó có thể tưởng tượng ông đã lấy đâu ra thời gian đểlàm nên những công trình toán học của mình. Bí quyết của ông chính là khảnăng tập trung cao độkhi làm việc. Người ta còn kểlại, lúc gặp đươc một vấn đề thú vị, ông có thểngồi ởbàn làm việc suốt ba ngày đêm liền.

1

Hướng tới VMO 2020 Tạp chí và tư liệu toán học

2 Định lý Viète.

Định lý Viète được trình bày trong sách giáo khoa toán 9 - tập 2, cho ta mối quan hệgiữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệsốcủa nó. Sau đây ta sẽnhắc lại nó.

Định lý Viète. Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì tổng và tích của chúng là  

 S = x1 + x2 = −b

a P = x1.x2 = c

a

Ngược lại nếu có hai sốx1 và x2 thỏa mãn S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình t2 −St + P = 0.

Chú ý rằng trong khi giải toán, đôi khi ta không quan tâm tới giá trịcủa x1 và x2 mà chỉcần quan tâm đến 2 giá trịtổng và tích của chúng, từđó ta có những đánh giá cần thiết. Ngoài ra cũng từđịnh lí Viète ta nhận thấy nếu một phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm x1 thì nó sẽcó thêm một nghiệm x2 nữa. Ngoài ra ta có thểmởrộng định lý cho phương trình đa thức bậc n bất kì. Cho phương trình a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = 0, an ̸= 0. Gọi x1, x2, . . . , xn là n nghiệm của phương trình trên, khi đó thì

a0 + a1x + a2x2 + ... + …