Những cặp phương trình hàm - Nguyễn Tài Chung

NGUYỄN TÀI CHUNG

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

Ì

N

H

H

À

M

⋆ ⋆

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G

H

Ọ

C

S

I

N

H

G

I

Ỏ

I

phương trình hàm

NHỮNG CẶP

x

y

O a b

y = f(x)

Pleiku 25-12-2019

f : N∗→N f : Z →Z

f : (0; +∞) →(0; +∞)

f : R →R

1 | Nguyễn Tài Chung - GV THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai

NHỮNG CẶP PHƯƠNG TRÌNH HÀM

A. ĐỀBÀI

Bài 1.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R, liên tục trên R và thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈R.

2 Tìm các hàm sốf : R →R, đơn điệu trên R và thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈R.

3 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈(0; +∞) .

4 Tìm tất cảcác hàm f : R →R bịchặn trên đoạn [a; b] và thỏa mãn điều kiện:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈R.

5 Tìm tất cảcác hàm sốliên tục f : [0; 1] →R thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y, x + y ∈[0; 1].

Bài 2.

1 Tìm các hàm sốf : R →R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:

f x + y

2

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈R.

2 Tìm tất cảcác hàm sốliên tục f : [0; 1] →R thỏa mãn:

f x + y

2

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈[0; 1] .

3 Tìm tất cảcác hàm sốliên tục f : [a; b] →R thỏa mãn:

f x + y

2

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈[a; b] .

4 Tìm tất cảhàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f x + y

2

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y > 0.

5 Tìm tất cảcác hàm sốf : (A; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f x + y

2

= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈(A; +∞)

MỤC LỤC

2 | Nguyễn Tài Chung - GV THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai

Bài 3.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn:

f (x f (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y ∈R.

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f (x f (y) + x) = xy + f (x), ∀x, y ∈(0; +∞).

Bài 4.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn:

f (x f (y) + f (x)) = 2f (x) + xy, ∀x, y ∈R.

(Brazil National Olympiad 2006)

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f (x f (y) + f (x)) = 2f (x) + xy, ∀x, y ∈(0; +∞) .

(Trường Đông Toán Học Miền Nam 2019-2020)

Bài 5.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn:

f (x2 + f (y)) = x f (x) + y, ∀x, y ∈R.

(Đềnghịthi Olympic 30/04/2011)

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f x2 + f (y) = x f (x) + y, ∀x, y ∈(0; +∞).

3 Tìm các hàm sốf : N∗→N∗thỏa mãn:

f x2 + f (y) = x f (x) + y, ∀x, y ∈N∗.

(Romania National Olympiad 2008, Grade 9)

Bài 6.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : Z →Z thỏa mãn:

f (x + y f (x)) = f (x) + x f (y), ∀x, y ∈Z.

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn

f (x + y f (x)) = f (x) + x f (y), ∀x, y ∈R.

Bài 7.

MỤC LỤC

3 | Nguyễn Tài Chung - GV THPT Chuyên Hùng Vương Gia Lai

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn:

f x2 + f (y) = [ f (x)]2 + y, ∀x, y ∈R.

(IMO 1992)

2 Cho sốnguyên n ≥2. Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn:

f (xn + f (y)) = [ f (x)]n + y, ∀x, y ∈R.

3 Tìm tất cảcác hàm sốf : N∗→N∗thỏa mãn:

f m2 + f (n) = f (m)2 + n, ∀m, n ∈N∗.

4 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f x2 + f (y) = f 2(x) + y, ∀x, y ∈(0; +∞).

Bài 8.

1 Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn điều kiện

f (x f (x) + f (y)) = f 2(x) + y, ∀x, y ∈R.

(Balkan MO 2000, Argentina TST 2005)

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn:

f (x f (x) + f (y)) = f 2(x) + y, ∀x, y ∈(0; +∞).

Bài 9.

1 Tìm tất cảcác hàm f : R →R thỏa mãn phương trình hàm

f (x + y) + f (x) f (y) = f (x) + f (y) + f (xy), ∀x, y ∈R.

(Belarus 1997)

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : (0; +∞) →(0; +∞) thỏa mãn

f (x + y) + f (x) f (y) = f (xy) + f (x) + f (y), ∀x, y ∈(0; +∞).

Bài 10.

1 Tìm các đơn ánh f : Z →Z thỏa mãn:

| f (x) −f (y)| ≤|x −y| , ∀x, y ∈Z.

(Romania National Olympiad 2013)

2 Tìm tất cảcác hàm sốf : [a, b] →[a, b] thỏa mãn

| f (x) −f (y)| ≥|x −y|, ∀x, y ∈[a, b].

MỤC LỤC