Chuyên đề phương trình hàm đa thức - Nguyễn Phúc Thọ

Mỗi Tuần Một Bài Toán-Thảo Luận Biên soạn:Nguyễn Phúc Thọ

CHUYÊN

ĐỀ2021

PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

NGUYỄN PHÚC THỌ

MỖI TUẦN MỘT BÀI TOÁN-THẢO LUẬN

1 2021

Mỗi Tuần Một Bài Toán-Thảo Luận Biên soạn:Nguyễn Phúc Thọ

PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC

Bài toán 1. Tìm tất cảcác đa thức P(x) thoảmãn

P(a+ b) = 6 ¡ P(a)+ P(b) ¢ +15a2b2(a+ b) (1)

Với mọi sốphức a và b sao cho a2 + b2 = ab.

Titu Andreescu

Lời giải.

Cho a = b = 0 vào (1) được P(0) = 0. Do đó P(x) = cnxn + cn−1xn−1 +...+ c1x với n ≤1, cn ̸= 0.

Giảsửrằng a2 +b2 = ab. Ta sẽkhẳng định rằng với mọi k ≤1, tồn tại một hằng sốf sao cho

ak + bk = fk(a+ b)k.

Thật vậy f1 = 1. Ta có

a2 + b2 = (a+ b)2 −2ab = (a+ b)2 −2(a2 + b2)

Suy ra: a2 + b2 = 1

3(a+ b)2. Do đó f2 = 1

3.

Với mọi k ≥2. Ta lại có

fk+1(a+ b)k+1 = ak+1 + bk+1 = (ak + bk)(a+ b)−ab(ak−1 + bk−1) = fk(a+ b)k+1 −1

3 fk−1(a+ b)k+1

Hay fk+1 = fk −1

3 fk−1. Đặc biệt thấy f3 = 0 và f4 = −1

9 = f5. Từđây, ta dùng phương trình sai

phân tuyến tính được

fk = µp

3+ i

2 p

3

¶k + µp

3−i

2 p

3

¶k

Do đó, với mọi k ≥6 thì

|6fk| ≤12 ¯¯¯¯

p

3+ i

2 p

3

¯¯¯¯

k = 12 µ 1 p

3

¶k ≤12

27 < 1 (2)

Từ(1) có P(a+b) = 6 ¡ P(a)+P(b) ¢ +5

3(a+b)5 (3). Cân bằng hệsố(a+b)k của (3) được (1−6fk)ck =

0 với k ̸= 5, do (2) suy ra ck = 1 với mọi k ̸= 5

Cân bằng hệsố(a + b)5 của (3) được c5 = 6f5c5 + 5

3 suy ra c5 = 1. Do đó được P(x) = x5 thoả

mãn bài toán.

Bài toán 2. Tìm tất cảcác đa thức P(x) với hệsốthực thoảmãn P(x)

yz + P(y)

zx + P(z)

xy = P(x−y)+ P(y−z)+ P(z −x)

Với mọi sốthực x, y, z khác 0 mà 2xyz = x+ y+ z.

USAMO 2019

Lời giải.

Dễthấy P(x) = 0 thoảmãn bài toán. Bây giờxét trường hợp degP = n ≥1. Phương trình đã

cho được viết lại

xP(x)+ yP(y)+ zP(z) = xyz[P(x−y)+ P(y−z)+ P(z −x)] (1)

Cốđịnh x > 0. Chọn 0 < z < 1

2x. Bây giờ, đểthoảmãn điều kiện giảthiết, ta chọn y = x+ z 2xz −1.

Khi đó phương trình (1) viết lại thành

xP(x)+ x+ z 2xz −1P µ x+ z

2xz −1

¶ + zP(z) = xz(x+ z)

2xz −1

· P µ x− x+ z 2xz −1

¶ + P µ x+ z

2xz −1 −z ¶ + P(z −x) ¸

2 2021

Mỗi Tuần Một Bài Toán-Thảo Luận Biên soạn:Nguyễn Phúc Thọ

Lấy đạo hàm hai vếtheo z được

−2x2 +1

(2xz −1)2 P µ x+ z

2xz +1

¶ −(x+ z)(2x2 +1)

(2xz −1)3 P‘ µ x+ z

2xz −1

¶ −P(z)+ zP‘(z)

= x(2xz2 −x−2z)

(2xz −1)2

· P µ x− x+ z 2xz −1

¶ + P µ x+ z

2xz −1 −z ¶ + P(z −x) ¸

+ xz(x+ z)

2xz −1

½ 2x2 −1

(2xz −1)2 P‘ µ x− x+ z 2xz −1

¶ − · 2x2 +1 (2xz −1)2 +1 ¸ P‘ µ x+ z

2xz −1 −z ¶ + P‘(z −x) ¾

Bây giờcho z →0+, ta được

(2x2 +1)[xP‘(−x)−P(−x)]+ P(0) = −x2[P(2x)+2P(−x)] (2)

Hai đa thức ởhai vếcủa phương trình trên nhận giá trịbằng nhau tại vô sốgiá trịdương

của x nên chúng đồng nhất với nhau.

1) Nếu P(x) = ax+ b với a ̸= 0 khi đó phương trình (2) được viết lại thành

(2x2 +1)(2ax−b)+ b = −3bx2,∀x ∈R

So sanh hệsốx3 hai vếđược a = 0, mâu thuẫn.

2) Nếu degP = 2. Khi đó đa thức P(x) có dạng P(x) = ax2+bx+c với a ̸= 0. Thay lại vào phương

trình (2) và rút gọn, ta được

4bx3 +(c −3a)x2 +2bx = 0,∀x ∈R

Từđó suy ra b = 0 và c = 3a. Do đó P(x) = a(x2 +3),∀x ∈R.

3) Nếu degP = n ≥3. Gọi c là hệsốcao nhất của P(x). So sánh hệsốxn+2 ởhai vếcủa phương

trình (2) được,

2[na(−1)n−1 −a(−1)n] = −[2na+2a(−1)n]

Hay

n(−1)n = 2n−1

Tuy nhiên phương trình này không có nghiệm với mọi n ≥3.

Vậy P(x) = 0 và P(x) = a(x2 +3) với mọi x ∈R thoảmãn bài toán.

Bài toán 3. Tìm tất cảcác đa thức P(x) với hệsốthực thoảmãn

(x+4y)P(z)+(y+4z)P(x)+(z +4x)P(y) = xP(2y−z)+ yP(2z −x)+ zP(2x−y) (1)

Với mọi x, y, z ∈R thoảmãn 3(x+ y+ z) = xyz(2).

TST KHTN 2020-2021

Lời giải.

Dễthấy hai bộnghiệm (x, y, z) = (3,3,3);(−3,−3,−3) thoả(2), do đó thay từng bộvào (1) được

P(3) = P(−3) = 0(3).

Với bộ(x, y, z) = (0,a,−a) với a ∈R thoảmãn (2), thay bộnày vào (1) được

4aP(−a)−3aP(0)−aP(a) = aP(−2a)−aP(−a),∀a ∈R

Hay

5xP(−x) = P(x)+ P(−2x)+3P(0),∀x ∈R (4)

Dễthấy P(x) = 0 thoảmãn bài toán.

Xét degP = n ≥1, gọi hệsốbậc n của đa thức P(x) là b khác 0.

Khi đó cân bằng hệsốbậc n của (4) được

5b(−1)n = b + b(−2)n

3 2021