Sử dụng phương tích - trục đẳng phương trong bài toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng

1

SỬ DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

Các bài toán Hình học phẳng là một phần quan trọng trong các chuyên đề

toán học và đồng thời nó cũng là một mảng khó trong chương trình toán THPT

chuyên. Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán

quốc tế và khu vực, những bài toán Hình học phẳng cũng hay được đề cập và

thường được xem là bài toán khó của kì thi. Trong các dạng toán liên quan đến

Hình học phẳng thì bài toán đồng quy, thẳng hàng vừa được coi là bài toán quen

và lạ, vừa dễ vừa khó. Bởi bài toán đồng quy, thẳng hàng đã được làm quen từ

khi các em bắt đầu học Hình học cho đến chúng ta cảm thấy rất quen thuộc với

Hình hoc nó vẫn hiện hữu. Nó lại là bài toán có tần suất xuất hiện nhiều nhất

trong tất cả các kì thi HSG các cấp với rất nhiều hình thái khác nhau, mức độ

khác nhau thậm chí là rất khó.

Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp một số khó khăn

khi tiếp cận các dạng toán liên quan đến bài toán đồng quy thẳng hàng nói riêng

và bài toán Hình học phẳng nói chung bởi không biết phải bắt đầu từ đâu và khó

khăn khi định hướng vẽ hình phụ. Cái khó của các em chính là không nắm được

tường tận các phương pháp giải quyết từ đó dẫn đến khó khăn trong khâu định

hướng. Để hiểu và vận dụng tốt một số dạng toán cơ bản và vận dụng kiến thức

Hình học phẳng vào giải toán đồng quy thẳng hàng thì thông thường học sinh

phải có kiến thức nền tảng Hình học tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả

các lĩnh vực của nó. Đó là một khó khăn rất lớn đối với giáo viên và học sinh

khi giảng dạy và học tập phần các kiến thức cần thiết trong Hình học.

Trong số rất nhiều các phương pháp để giải quyết bài toán đồng quy,

thẳng hàng tác giả lựa chọn công cụ “Phương tích, trục đẳng phương”. Đây là

một trong những công cụ mạnh và hữu hiệu để giải quyết lớp bài toán này.

2

PHẦN II. NỘI DUNG

SỬ DỤNG PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

1.1 Lý thuyết

1.1.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Định lý 1.1 Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường

thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó

2 2 2 2 . MA MB MO R d R    

Chứng minh:

Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB AM  hay B là hình chiếu của C

trên AM.

Khi đó ta có

     . . . MA MB MA MB MC MA MO OC MO OA MO OA MO OA                  

2 2 2 2 2 2 MO OA OM OA d R        

Định nghĩa. Giá trị không đổi 2 2 . MA MB d R   trong định lý 1.1 được gọi là

phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu /(O) M  .

Khi đó theo định nghĩa ta có 

2 2 / . M O MA MB d R    

Định lý 1.2 Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và . . PA PB PC PD  thì

4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Chứng minh. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’. Khi đó

ta có theo định lý 1.1 ta có . . PA PB PC PD  , suy ra . . PC PD PC PD D D      . Suy

ra 4 điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.

Một số tính chất

C

B

O

M

A