Chuyên đề Hình học giải tích phẳng - Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HÀ NỘI, 8/2013

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………

LỚP :………………………………………………………………….

TRƯỜNG :…………………………………………………………………

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

§1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ 0 u ≠

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆. Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. 2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ 0 n ≠

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆. Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆. – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. – Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của ∆ thì u n ⊥ . 3. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và có VTCP 1 2 ( ; ) u u u = .

Phương trình tham số của ∆: 0 1

0 2

= + = + 

x x tu

y y tu

(1) ( t là tham số).

Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R: 0 1

0 2

= + = + 

x x tu

y y tu

.

– Gọi k là hệ số góc của ∆ thì:

+ k = tanα, với α = xAv , α ≠ 0 90 . + k = 2

1

u

u

, với 1 0 u ≠ .

4. Phương trình chính tắc của đường thẳng Cho đường thẳng ∆ đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và có VTCP 1 2 ( ; ) u u u = .

Phương trình chính tắc của ∆: 0 0

1 2

x x y y

u u

− − = (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).

Chú ý: Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc. 5. Phương trình tham số của đường thẳng

PT 0 ax by c + + = với 2 2 0 a b + ≠ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình 0 ax by c + + = thì ∆ có: VTPT là ( ; ) n a b = và VTCP ( ; ) u b a = − hoặc ( ; ) u b a = − .

– Nếu ∆ đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và có VTPT ( ; ) n a b = thì phương trình của ∆ là: 0 0 ( ) ( ) 0 a x x b y y − + − =

Các trường hợp đặc biệt:

• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆: 1 x y a b + = .

Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆

c = 0 0 ax by + = ∆ đi qua gốc toạ độ O

a = 0 0 by c + = ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox

b = 0 0 ax c + = ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) . • ∆ đi qua điểm 0 0 0 ( ; ) M x y và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: 0 0 ( ) y y k x x − = −

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: 1 1 1 0 a x b y c + + = và ∆2: 2 2 2 0 a x b y c + + = .

Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

1 1 1

2 2 2

0

0 a x b y c a x b y c

 + + =  + + = 

(1)

• ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔ 1 1

2 2

a b

a b ≠ (nếu 2 2 2 , , 0 a b c ≠ )

• ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c = ≠ (nếu 2 2 2 , , 0 a b c ≠ )

• ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm⇔ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c = = (nếu 2 2 2 , , 0 a b c ≠ )

7. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: 1 1 1 0 a x b y c + + = (có VTPT 1 1 1 ( ; ) n a b = )

và ∆2: 2 2 2 0 a x b y c + + = (có VTPT 2 2 2 ( ; ) n a b = ).

0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2

( , ) ( , ) 90 ( , )

180 ( , ) ( , ) 90

n n khi n n

n n khi n n

 ≤  ∆∆ =  − > 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2

. cos( , ) cos( , ) . .

n n a a b b n n n n a b a b

+ ∆∆ = = = + +

Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ 1 2 1 2 0 a a b b + = .

• Cho ∆1: 1 1 y k x m = + , ∆2: 2 2 y k x m = + thì:

+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1. 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: 0 ax by c + + = và điểm 0 0 0 ( ; ) M x y .

0 0 0 2 2 ( , )

ax by c d M

a b

+ + ∆=

+

• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng ∆: 0 ax by c + + = và hai điểm ( ; ), …