Kĩ thuật giải một số bài toán Oxy điển hình - Hoàng Thế Ngọc

Kí hiệu dùng trong sách

GTLN : Giá trịlớn nhất GTNN : Giá trịnhỏnhất HSG : Học sinh giỏi THPT : Trung học phổthông ■ : Kết thúc Lời giải △ : Kết thúc Định nghĩa, Ví dụ □ : Kết thúc Định lý ? : Câu hỏi, hoạt động

Chú ý: Tất cảcác bài toán trong cuốn tài liệu này nếu có các biểu thức tọa độthì ta hiểu là đang xét trong mặt phẳng với hệtọa độOxy.

3

Lời nói đầu

Phương pháp tọa độtrong mặt phẳng là nội dung thường gặp trong Kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (nay gọi là Kỳthi THPT Quốc gia). Ngoài ra, trong Kỳthi HSG những năm gần đây, đềthi của nhiều tỉnh cũng có nội dung này. Đây thường là câu phân loại thí sinh. Các bài toán thường là phải áp dụng tính chất hình học trước khi sửdụng biến đổi đại sốchứ không còn là các kĩ thuật tính toán đại sốthông thường như trước kia.

Với mục đích ôn luyện đội tuyển HSG và quan trọng hơn là hướng tới kì thi THPT Quốc gia chung, thầy biên soạn tài liệu nhỏnày với hi vọng sẽgiúp các em hình dung chút ít vềnội dung này.

Tài liệu có cấu trúc tương đối lạ. Em sẽthấy một sốmục của nó đảo lộn linh tinh và đọc dòng trên với dòng dưới không liên quan gì đến nhau.

Đừng lo. Đó là do em đọc ngẫu nhiên và chỉđọc mà không làm. Hãy đọc tuần tựvà làm theo hướng dẫn. Mọi sư lộn xộn sẽtrởlên ngăn nắp.

Khi gặp kí hiệu Y HD2 −tr.10 thì em cần hiểu là phải tựlàm theo hướng dẫn ởtrên nó và nếu đã làm được điều đó rồi thì tựlàm tiếp hoặc theo HD 2 trang 10.

Khi gặp kí hiệu N HD19 −tr.25 thì em nên đọc kĩ hướng dẫn và tự làm, nếu làm mãi mà không ra thì xem HD 19 trang 25.

Hi vọng em sẽthấy thú vịvới tài liệu kiểu này.

Trong quá trình biên soạn vội vàng, nhất định khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các em phát hiện và phản hồi.

Pác Khuông, tháng 5 năm 2015

4

1 Lý thuyết chung

1.1 Hệtọa độ

Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy cho các điểm:

A (xA; yA) , B (xB; yB) , C (xC; yC) , M (x0; y0)

• Tọa độvectơ: −−→ AB = (xB −xA; yB −yA)

• Tọa độtrung điểm của đoạn thẳng AB là:

J xA + xB

2 ; yA + yB

2

• Tọa độtrọng tâm của tam giác ABC là:

G xA + xB + xC

3 ; yA + yB + yC

3

1.2 Phương trình đường thẳng

1.2.1 Vectơ chỉphương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

• Vectơ −→u (−→u ̸= −→0 ) là vectơ chỉphương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

• Vectơ −→ n (−→ n ̸= −→0 ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng d.

• Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là −→ n = (a; b).

• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉphương (vectơ pháp tuyến).

• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉphương của đường thẳng kia.

• Nếu −→u , −→ n lần lượt là vectơ chỉphương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì −→u .−→ n = 0. Do đó, nếu −→u = (a; b) thì −→ n = (b; −a).

5

• Một đường thẳng có vô sốvectơ pháp tuyến, vô sốvectơ chỉphương. Nếu −→ n là một vectơ pháp tuyến (vectơ chỉphương) của đường thẳng d thì k−→ n (k ̸= 0) cũng là một vectơ pháp tuyến, vectơ chỉphương của d.

1.2.2 Bốn loại phương trình đường thẳng

• Phương trình tổng quát của đường thẳng:

ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) (1)

Đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận −→ n = (a; b) là vectơ pháp tuyến có phương trình dạng:

a(x −x0) + b(y −y0) = 0 (2)

Đặc biệt: đường thẳng đi qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn: x a + y

b = 1 (3)

* Đường thẳng đi qua M(x0; y0) và nhận vectơ −→ n = (p; q) làm vectơ chỉphương, có phương trình tham sốlà: x = x0 + pt y = y0 + qt (4)

Có phương trình chính tắc là:

x −x0

p = y −y0

q (p, q ̸= 0) (5)

Đặc biệt: đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A (xA; yA) , B (xB; yB) có phương trình dạng:

x −xA xB −xA = y −yA

yB −yA (6)

• Đường thẳng đi qua M(x0; y0) và có hệsốgóc k thì có phương trình đường thẳng với hệsốgóc dạng:

y = k(x −x0) + y0 (7)

Chú ý:

6