Một số tính chất hình học phẳng thường dùng trong bài toán Oxy - Võ Quang Mẫn

Một sốtính chất hay dùng trong Oxy

VÕ QUANG MẪN

Ngày 11 tháng 11 năm 2015

Tính chất 1. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm G và trực tâm H. Gọi AD là đường kính của (O ) và M là trung điểm của BC. Khi đó:

1. Tứgiác BHCD là hình bình hành.

2. G cũng là trọng tâm tam giác AHD.

3. O, G, H thẳng hàng và −−→ HG = 2

3 −−→ HO.

4. −−→ AH = 2−−→ OM.

Lời giải:

A

B C

O

M

H

G

D

Bài toán 1. Trong mặt phẳng Oxy, gọi H(3;-2), I(8;11),K(4;-1) lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽtừA của tam giác ABC. Tìm tọa độcác điểm A, B, C. (sởthành phốHồChí Minh 2015)

1

Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệtọa độOxy, cho tam giác đường cao AA′ có phương trình

x + 2y −2 = 0 trực tâm H(2;0) kẻcác đường cao BB′ và CC ′ đường thẳng B′C ′ có phương trình

x −y +1 = 0. M(3;−2) là trung điểm BC. Tìm tọa độcác đỉnh A,B,C. (Nghĩa Hưng C 2015)

Bài toán 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;−2), trọng tâm G (0;1) và trực tâm H ¡1

2;1 ¢. Tìm tọa độcủa các đỉnh B, C và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (Nguyễn Hiền, Đà Nẵng 2015)

Bài toán 4. Trong mặt phẳng (Oxy), cho tam giác ABC có trung điểm của BC là M(3;−1), đường thẳng chứa đường cao vẽtừB đi qua E(−1;−3) và đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1;3). Tìm toạ độcác đỉnh của tam giác ABC biết D(4;−2) là điểm đối xứng của A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (Núi Thành 2015)

Tính chất 2. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H. Gọi AH cắt (O) tai H’. Khi đó:

1. H, H’ đối xứng nhau qua BC.

2. Điểm O’ đối xứng với O qua BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC.

3. (O) và (O’) có cùng bán kính.

Lời giải:

A

B C

H

O

H′

O′

Bài toán 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC. Đường trung tuyến kẻtừđỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3x +5y −8 = 0,x −y −4 = 0. Đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứhai là D(4,−2). Viết phương trình đường thẳng AB, biết hoành độđiểm B không lớn hơn 3. (THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 2015)

Võ Quang Mẫn 2

Bài toán 6. Trong mặt phẳng Oxy, gọi H(3;−2),I(8;11),K (4;−1) lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao vẽtừA của tam giác ABC. Tìm tọa độcác điểm A,B,C. (sởthành phốHCM 2015)

Tính chất 3. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) và đường tròn ngoại tiếp (O). Đường thẳng AI cắt (O) tại K và BC tại D . Khi đó:

1. K B = KC = KI hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC

2. Gọi J là điểm đối xứng với I qua K thì tứgiác BICJ nội tiếp trong đường tròn tâm K hay K là trung điểm IJ

3. J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A.

4. BK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Lời giải:

A

B C

K

I O

J

Bài toán 7. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 5) . Tâm đường tròn nội

tiếp và ngoại tiếp của tam giác lần lượt là I(2; 2) và K (5

2;3). Tìm tọa độB và C. (THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 2015)

Võ Quang Mẫn 3

Tính chất 4. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) . Gọi AD, AE lần lượt là các phân giác trong và ngoài của tam giác. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE, BC. Khi đó,

1. AD, AE lần lượt đi qua trung điểm cung nhỏvà cung lớn BC của (O).

2. Tứgiác AMNO nội tiếp.

3. AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4. Tam giác AMD cân tại M

Lời giải:

A

B C E D

O

K

I

M N

Bài toán 8. Trong mặt phẳng với hệtoạđộOxy cho tam giác ABC cóA(1;4), tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của  ADBcó phương trình x −y +2 = 0, điểm M (−4;1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB. (YÊN PHONG SỐ2 năm 2015)

Bài toán 9. Cho ABC nội tiếp đường tròn, D(1;−1) là chân đường phân giác của góc A, AB có phương trình 3x + 2y −9 = 0, tiếp tuyến tại A có phương trình ∆: x + 2y −7 = 0. Hãy viết phương trình BC. (D-14)

Tính chất 5. Cho hình vuông ABCD. M,N lần lượt trên hai cạnh AB và AC. Khi đó

AM +CN = MN ⇔à MDN = 450 ⇔DH = AD ⇔MD là phân giác của ƒ NM A

Lời …