Tuyển tập 110 bài toán hình học giải tích phẳng Oxy - Nguyễn Đình Sỹ

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT

( Tài liệu để ôn thi đại học ) Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm         A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5   và đường thẳng d:3x y 5 0   . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 )

- Mặt khác :     1 3;4 5, : 4 3 4 0 3 4 x y AB AB AB x y          

    1 4 4;1 17; : 4 17 0 4 1 x y CD CD CD x y           

- Tính :      

1 2 4 3 3 5 4 4 3 5 17 13 19 3 11 , , 5 5 17 17

a a a a a a h M AB h             

- Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :

1 2

11 13 19 3 11 5.13 19 17. 3 11 1 1 . . 12 13 19 11 3 2 2 5 17 8

a a a a a AB h CD h a a a

                      

- Vậy trên d có 2 điểm :   1 2 11 27 ; , 8;19 12 12 M M       

Bài 2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C

Giải - Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).

- Ta có :   0 2 , 2 2 d B d    .

- Theo giả thiết :       2 2 1 4 . , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a        

2 2

1 3 2 8 8 8 4 2 2 1 0

1 3 2

a a a a a

a

            

   

- Vậy ta có 2 điểm C : 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 C C                    

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với ) 5 ;2 ( ,)1;1(  B A , đỉnh C nằm trên đ-ờng thẳng 0 4   x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 0 6 3 2   y x . Tính diện tích tam giác ABC.

Giải

- Tọa độ C có dạng : C(4;a) ,    

5 3;4 1 1 : 4 3 7 0 3 4

AB AB x y AB x y

              

- Theo tính chát trọng tâm ;

1 2 4 1 3 3 1 5 6 3 3 3

A B C G G

A B C

G G

x x x x x

y y y a a y y

                            

Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218

Biên soạn t-6-2012( Tài liệu nội bộ-lưu ) Trang 2

- Do G nằm trên : 2x-3y+6=0 , cho nên : 6 2.1 3 6 0 2 3 a a             

.

- Vậy M(4;2) và     4.4 3.2 7 1 1 15 , 3 . , 5.3 2 2 2 16 9

ABC d C AB S AB d C AB         

(đvdt)

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với ) 2 ;1( ,)1 ;2 (   B A , trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 0 2   y x . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 .

Giải. - Ta có : M là trung điểm của AB thì

M 3 1 ; 2 2       

. Gọi C(a;b) , theo tính chất

trọng tam tam giác :

3 3

3 3

G

G

a x

b y

       

- Do G nằm trên d :

 3 3 2 0 6 1 3 3 a b a b        

- Ta có :       3 5 2 1 1;3 : 3 5 0 , 1 3 10

a b x y AB AB x y h C AB            

- Từ giả thiết :   2 5 2 5 1 1 . , 10. 13,5 2 2 2 10 ABC

a b a b S AB h C AB      

2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 a b a b a b a b a b                      

- Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :

  1 2

20 6 6 3 2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;12 3 3 3 6 6

12 2 22 3 18

6

b a b a b a b a a C C a b a b

b a b a

a

                                                                      

Bài 5. Trong mặt phẳng oxy cho ABC  có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC  . Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phương

      2 1; 3 : 1 3 x t n AC t R y t          

- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung

tuyến kẻ qua C :

2 1 3

1 0

x t y t x y

         

A(2;1)

B(1;-2) C

M( 3 1 ; 2 2 ) G d:x+y-2=0

A(2;1)

B

C

x+y+1=0

x-3y-7=0

M