Kĩ thuật xử lí hình học tọa độ phẳng - Đoàn Trí Dũng

1 | K Ỹ T H U ẬT G I ẢI T Í C H P H ẲN G – Đ O À N T R Í D Ũ N G : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

------------------------------------

KỸ THUẬT XỬ LÝ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG

PHẦN I: PHẦN II: PHẦN III: PHẦN IV:

GÁN ĐỘ DÀI CHO HÌNH VẼ GỌI ẨN TRÊN ĐƯỜNG THẲNG GIẢI TAM GIÁC TỨ GIÁC GIẢI ĐƯỜNG TRÒN

Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG Hotline: 0902.920.389 Facebook: https://www.facebook.com/toanthaydung

2 | K Ỹ T H U ẬT G I ẢI T Í C H P H ẲN G – Đ O À N T R Í D Ũ N G : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9

PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐỘ DÀI

Mục tiêu của phương pháp gán độ dài là xây dựng mối liên hệ giữa những cái đã có và những cái chưa có. Chẳng hạn như trong hình vẽ bên thì chúng ta thấy rằng cái đã có là độ dài EF còn cái chưa có là độ dài EA. Nếu ta tính được độ dài EA thì vấn đề đã trở nên đơn giản hơn. Tuy nhiên thực tế cái khó nhất chính là ở chỗ này. Để tính EA thì ta không nên suy nghĩ quá đơn giản là đi tính độ dài một cách trực tiếp. Thực tế đã là hình học thì không thể cứ tính trực tiếp mà ra được. Ta sẽ tính EA thông qua các bước sau:

 Bước 1: Đặt một độ dài của hình vẽ là a (có thể là cạnh

hình vuông, cạnh hình chữ nhật, chẳng hạn đặt AB = a).  Bước 2: Tính độ dài EA và EF theo a (chẳng hạn EA =

2a, EF = a 2 )  Bước 3: Độ dài EF thực tế là 2 như vậy a = 1, do đó độ dài EA = 2. Từ đây thì việc tìm ra A là quá đơn giản.

VẤN ĐỀ 1: GÁN MỘT ĐỘ DÀI BẰNG TÍNH CHẤT HÌNH VẼ: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD và

A  1;3 . M và N là trung điểm của AB và BC. DM cắt AN tại E 13 13 ; 5 5      

. F là điểm nằm trên đoạn thẳng CD

sao cho 10DF = 3CD. Biết rằng điểm F nằm trên đường thẳng :11 5 16 0 d x y    . Xác định tọa độ đỉnh F.

Bài toán này có một mối quan hệ rất dễ nhìn thấy đó chính là mối quan hệ vuông góc giữa A, E và F. Trong bài toán này tôi sẽ sử dụng kỹ thuật gán độ dài để chứng minh mối quan hệ đó bằng Pithagore.

Các vấn đề tìm nốt ra các điểm còn lại để hoàn thiện bài toán, học sinh tự xử lý nốt.

Đặt độ dài cạnh AD = a, AB = 2a, gọi I là trung điểm của AD và K là trung điểm của DM. Ta dễ dàng thấy

được các điểm I, K, N thẳng hàng. Ta có a 3a 2 2 2 AM IK KN     . Mặt khác theo định lý Thales ta có:

2 2 2 a 17 2 a 2 4a 2 , 3 5 5 5 5 5 5 ME AE AM AE ME AE AN ME MK DE EK EN NK AN MK             

Ta dễ dàng nhận thấy ??? ̂ = ??? ̂ = 450 nên áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DEF ta được:

2 2 2 0 a 17 2 . .cos45 5 FE DE DF DE DF FE      . Xét tam giác ADF ta được:

2 2 2 2 2 2 34a

25 FA AD DF AE FE      . Vậy tam giác AEF vuông cân tại E. Do đó ta tìm được điểm F 11;1 5      

3 | K Ỹ T H U ẬT G I ẢI T Í C H P H ẲN G – Đ O À N T R Í D Ũ N G : 0 9 0 2 9 2 0 3 8 9

VẤN ĐỀ 2: GÁN MỘT ĐỘ DÀI DỰA VÀO THÔNG SỐ ĐẦU BÀI: Tam giác ABC cân tại A  2;4 có

diện tích bằng 3. Gọi M là trung điểm của BC và N 11 7 ; 4 4      

là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AC = 4CN.

Biết rằng đường thẳng MN có phương trình 1 0 x y   . Xác định tọa độ đỉnh M.

Nhìn qua thì bài toán này không thể gán được độ dài, tuy nhiên nếu để ý kỹ thì từ chi tiết diện tích bằng 3, ta đặt AM = a, ta sẽ

có BC = 6

a . Do vậy mục tiêu của chúng ta trong bài toán này là

tính được AN theo a. Ta có:

4 4 2 2 2

2 9 a 9 3 a 9 a a a 4a AC AM MC AN         

Mặt khác vì A  2;4 và N 11 7 ; 4 4      

nên 3 10

4 AN  . Như vậy:

4 3 a 9 3 10 a 1 a 3 4a 4 AM AM       

Từ đây việc tìm điểm M đã trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Học sinh tự giải quyết nốt bài toán đến khi kết thúc. VẤN ĐỀ 3: GÁN HAI ĐỘ DÀI CHO HAI CẠNH KHÁC NHAU: Hình vuông ABCD. Trên các cạnh AD, AB lần lượt lấy E và F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BE. Tìm tọa độ đỉnh C biết C thuộc đường thẳng 2 1 0 x y   và hai điểm F  2;0 , H  1; 1  .

Trước hết ta tìm hiểu về cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

Ta có ??? ̂ = ??? ̂ = ??? ̂ và AH AH BH BH FA AE BA BC    nên ta có hai

tam giác đồng dạng HAF và HBC nên ??? ̂ = ??? ̂. Vì ??? ̂ + ??? ̂ = 900 nên ??? ̂ + ??? ̂ = …