Một số tính chất hay dùng trong hình học phẳng Oxy tập 2 - Võ Quang Mẫn

Mục lục

1 TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG 3 1.1 Đường tròn Apolonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàng điểm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phép nghịch đảo, cực và đối cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Tứgiác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Tứgiác ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Hai đường tròn trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Trực tâm, trung điểm và tính đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Tâm nội tiếp của tam giác đường cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.9 Tập phân tích những bài toán có sựđối xứng, yếu tốtrung tâm và mối liên hệgiữa chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 TÍNH CHẤT MỚI CÓ THỂPHÙ HỢP VỚI XU HƯỚNG CỦA ĐỀTHI 29

3 TỔNG HỢP CÁC BÀI TRÊN GROUP OXY 41

3

Do thời gian gấp rút nên một sốbài chưa kịp đăng lời giải, một sốbài có thểthiếu dữkiện (lỗi do đánh máy). Các em tựlàm và tựphát hiện tính chất cho những bài không có đáp án. Do nhiều quá nên không nhớhết tác giảcủa từng bài toán. Dù đã cốgắng hết sức nhưng không thểtránh khỏi nhiều sai sót, mong được bỏqua. Sẽcó một bản hoàn thiện hơn cho cảhai tập. Thân chào các em và đồng nghiệp! . Sửdụng bản gốc là sựtôn trọng vềtác giả, còn sửdụng bản sách lậu là tiếp tay cho bọn tội phạm. Võ Quang Mẫn

Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 1

Chương 1

TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG

1.1 Đường tròn Apolonius

Định nghĩa 1. Cho tam giác ABC có BC cốđịnh, điểm A di động sao cho 0 < AB

AC = k < 1

không đổi. Khi đó A chạy trên một đường tròn và đường tròn này gọi là đường tròn Apolo- nius.

Bài tập 1. Cho tam giác ABC có AB = 2AC và M là trung điểm AB.Cho I(1;−8) là tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại M,C. Biết BC : x −9y +5 = 0 và A ∈x + y −3 = 0. Tìm tọa độcác đỉnh A,B,C. (Vted lần 6)

C

B

P Q

E

A

M

I

F

H

Gọi P,Q là các điểm chia đoạn CB theo tỷsốk = −1

2; 1

2. Khi đó ta có AC

AB = PC

PB = QC

QB nên AP, AQ

là phân giác ngoài của tam giác C AB hay A chạy trên đương tròn đường kính PQ. Gọi E là trung

3

điểm PQ và F trên đoạn AP sao cho −→ PF = 1

4 −→ PA. Vì QA⊥Ap nên CF⊥AI.

Cách 1: làm hình học pha thêm đại số Gọi (a;3−a),−→ I A = (a −1;11−a) do đó đường thẳng AI : (a −11)(x −1)+(a −1)(y +8) = 0. Tọa độ

P là nghiệm của hệ  

 (a −11)(x −1)+(a −1)(y +8) = 0

x −9y +5 = 0 ⇒P(−34a +11

5(a −10) ; −a −29

5(a −10)).

Ta có −→ PF = 1

4 −→ PA suy ra F() suy ra đường thẳng CF đi qua F vuông góc AI có phương trình. Tọa độ

C là nghiệm của hệ  

x −9y +5 = 0 ⇒C().

Chú ý C A⊥CI nên −−→ C A.−→ IC = 0 suy ra

" a =

a = .

Nhận xét:

• Cách làm 1 có vẻtựnhiên theo tư duy thông thường mà một học sinh đa sốsẽsuy nghĩ theo hướng này.

• Dựa vào cách 1 ta có thểtổng quát cho tam giác có AB = k AC.

Cách 2: làm hình học theo tính chất suy đoán Ta chứng minh thêm một tính chất đẹp hơn nữa nếu phát hiện đó là: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó IG⊥BC. Câu hỏi đặt ra là làm sao phát hiện được điều này? Xin thưa theo ý chủ quan của mình thì tác giảcó thểxuất phát từbài toán sau.

Tính chất 1. Cho tam giác cân ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm I có dường trung tuyến BM. Gọi G là trọng tâm tam giác ABM. Khi đó GI⊥BM.

A

B C

I

M E

D

G

4 Facebook: Võ Quang Mẫn