Bài tập vận dụng - vận dụng cao chuyên đề phương trình đường tròn

1

GV: Nguyễn Hữu Phúc – 0888.014.879

BÀI TẬP VẬN DỤNG VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

( Dành cho học sinh muốn chinh phục điểm 8+, 9+)

 Câu 1: Cho phương trình đường cong        2 2 : 2 4 1 0 2 m C x y m x m y m       

a) Chứng minh rằng  2 là phương trình một đường tròn.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi. c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn   m C luôn đi qua hai điểm cố định.

 Lời giải.

a) Ta có

   

           

   

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 4 1 0

2 4 2 4 2 4 1 0 4 4 4 4

2 4 2 4 1 2 2 4 4

x y m x m y m

m m m m x m x y m y m

m m m m x y m

      

               

                       

Do  

2 2 2 2 4 2 4 1 0 2 2 2 m m m m                    

Suy ra  2 là phương trình đường tròn với mọi m.

b) Đường tròn có tâm 

1

1

2 2 : 4 2

m x I m y

       

suy ra 1 1 1 0 x y  

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng : 1 0 x y   

c) Gọi   ; o o M x y là điểm cố định mà họ   m C luôn đi qua.

Khi đó ta có:

   

 

2 2

2 2

2 2

2 4 1 0,

1 2 4 1 0,

1

0 1 0

2 4 1 0 1

2

o o o o

o o o o o o

o

o o o

o o o o o

o

x y m x m y m m

x y m x y x y m

x

y x y

x y x y x

y

       

        

                         

Vậy có hai điểm cố định mà họ   m C luôn đi qua với mọi m là   1 1;0 M  và   2 1;2 M

 Câu 2: Cho hai điểm     8;0 , 0;6 A B . a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB .

 Lời giải.

a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung

điểm của

cạnh huyền AB suy ra   4;3 I và bán kính     2 2 8 4 0 3 5 R IA       .

2

GV: Nguyễn Hữu Phúc – 0888.014.879

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:     2 2 4 3 25 x y     .

b) Ta có 2 2 8;OB 6;AB 8 6 10 OA      .

Mặt khác 1 . 2 OAOB pr  ( vì cùng bằng diện tích tam giác ABC ).

Suy ra . 2 OAOB r OA OB AB     .

Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ

nên tâm của đường tròn có tọa độ là   2;2 I .

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là     2 2 2 2 4 x y     .

 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : 2 5 0 d x y    và hai điểm     1;2 , 4;1 A B . Viết phương trình đường tròn  C có tâm thuộc d và đi qua hai điểm , A B .

 Lời giải.

Cách 1. Gọi I là tâm của  C . Do I d  nên   t;2t 5 I  .

Hai điểm ,B A cùng thuộc  C nên

        2 2 2 2 1 7 2 4 6 2 1 IA IB t t t t t          

Suy ra   1; 3 I  và bán kính 5 R IA   .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm     2 2 : 1 3 25 C x y     .

Cách 2. Gọi 5 3 ; 2 2 M      

là trung điểm AB . Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận

  3; 1 AB   

làm vecto pháp tuyến nên có phương trình

:3 6 0 x y     .

Tọa độ tâm I của  C là nghiệm của hệ

  2 5 0 1; 3 3 6 0 x y I x y           

.

Bán kính của đường tròn bằng 5 R IA   .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm

    2 2 : 1 3 25 C x y    

 Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

1 2 : 3 8 0, :3 4 10 0 d x y d x y       và điểm   2;1 A  . Viết phương trình đường tròn  C có tâm

thuộc 1d , đi qua điểm A và tiếp xúc với 2 d

 Lời giải.

Gọi I là tâm của (C). Do 1 I d  nên I(-3t-8; t). Theo giả thiết ta có