Các bài toán tổ hợp - xác suất hay và khó

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Chinh Phục Olympic Toán

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ

Sưu tầm và LATEX bởi Tạp chí và tư liệu toán học

Cách đây một thời gian khá lâu, fanpage có đăng một tài liệu vềtổhợp và xác xuất ởmức khá giỏi và cũng nhận được những phản hồi từphía các bạn theo dõi. Trong lần đăng bản cập nhật này các bạn sẽnhận được một sản phẩm được biên soạn tỉmỉtừfanpage kèm theo tương đối nhiều bài toán khó mới được bổ sung. Hy vọng tài liệu sẽgiúp ích được cho các bạn.

Mục lục

1 Lý thuyết cần nhớ. 2 1.1 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài toán chia kẹo của Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Một sốkết quảcủa bài toán đếm có yếu tốhình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Các bài toán tổng hợp 13

1 Lý thuyết cần nhớ.

1.1 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1. Xác suất có điều kiện của biến cốA với điều kiện B là một sốđược xác định bởi công thức

P(A|B) = P(AB)

P(B) nếu P(B) > 0.

Tính chất 1.

1. P(A|B) ⩾0.

2. P(Ω|B) = P(B|B) = 1,

3. Nếu Ai, i = 1, . . . , n là các biến cốđôi một xung khắc thì P

n[

i=1 Ai|B

!

= n ∑ i=1 P(Ai|B).

4. (Công thức nhân xác suất) P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A).

Chú ý 1. Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy ra của một biến cốkhi biến cốkhác đã xảy ra. Trong trường hợp hai biến cốA và B độc lập thì việc biến cốB xảy ra không ảnh hưởng gì tới việc xảy ra biến cố A nên P(A|B) = P(A). Ta được công thức nhân xác suất thông thường.

Định lý 1 (Xác suất toàn phần). Nếu Bi, i = 1, . . . , n, là hệcác biến cốđôi một xung khắc sao cho

n[

i=1 Bi = Ω

thì với biến cốA bất kì ta luôn có

P(A) = n ∑ i=1 P(Bi)P(A|Bi).

Hệcác biến cốBi (i = 1, . . . , n) như vậy được gọi là hệđầy đủ.

Định lý 2 (Công thức Bayes). Cho biến cốA và hệđầy đủBi (i = 1, . . . , n) đều có xác suất dương. Khi đó

P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi)

P(A) = P(Bi)P(A|Bi) n ∑ i=1 P(Bi)P(A|Bi) .

Tài liệu được sưu tầm và LATEX 2 h Tạp chí và tư liệu toán học

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Chinh Phục Olympic Toán

Định lý 3 (Nguyên lý bù trừ- Công thức Sieve). Cho tập A và n tập con A1, A2, ..., An. Ta có

|A1 ∪A2 ∪. . . ∪An| = ∑ 1⩽ii<i2<...ij⩽n (−1)j+1 Ai1 ∩Ai2 ∩. . . ∩Aij

Sau đây là một sốbài toán vềxác suất có điều kiện.

Câu 1. Nam thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứnhất có xác suất thành công là 0, 7. Nếu thí nghiệm thứnhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứhai là 0, 9. Nếu thí nghiệm thứnhất không thành công thì xác suất đểthành công thí nghiệm thứhai là 0, 4. Tìm xác suất để:

1. Cảhai thí nghiệm thành công.

2. Cảhai thí nghiệm đều không thành công.

3. Thí nghiệm thứnhất thành công và thí nghiệm thứhai không thành công.

Lời giải. Gọi A, B lần lượt là biến cố"Thí nghiệm thứnhất thành công" và "Thí nghiệm thứhai thành công".

1. AB là biến cố"Cảhai thí nghiệm thành công". Theo giảthiết ta có P(A) = 0, 7, P(B|A) = 0, 9. Suy ra P(AB) = P(A)P(B|A) = 0, 7 × 0, 9 = 0, 63.

2. A · B là biến cố"Cảhai thí nghiệm đều không thành công". Theo giảthiết ta có P

A = 0, 3, P

B|A = 0, 6. Suy ra P

A · B = P

A P

B|A = 0, 3 × 0, 6 = 0, 18.

3. AB là biến cố"Thí nghiệm thứnhất thành công nhưng thí nghiệm thứhai không thành công". Theo giảthiết ta có P

B|A = 1 −0, 9 = 0, 1. Suy ra P AB = P(A)P

B|A = 0, 7 × 0, 1 = 0, 07.

□

Câu 2. Một công ti một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm đểkiểm tra.

1. Tính xác suất đểsản phẩm thứhai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứnhất đạt chất lượng.

2. Tính xác suất đểsản phẩm thứhai không đạt chất lượng.

Lời giải.

1. Gọi Ak là biến cốsản phầm thứk không đạt chất lượng (k = 1, 2). Do sản phẩm thứnhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số849 sản phẩm. Vậy xác suất cần tìm là P(A2|A1) = 49

849.

2. Do A1 và A1 là hệbiến cốđầy đủnên theo công thức xác suất toàn phần ta …