Phân loại và phương pháp giải bài tập tổ hợp và xác suất

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 108

CHƯƠNG 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT

BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. QUI TẮC CỘNG

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là cách đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì

       n A B n A n B

Chú ý: Quy tắc công có thể mở rộng cho nhiều hành động

Ví dụ 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn?

Giải

Chọn đường bộ thì có 3 cách; chọn đường thủy có 2 cách.

Vậy có :   3 2 5 cách chọn.

Ví dụ 2: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ?

Giải

Chọn rượi có 3 cách, chọn bia có 4 cách, chọn nước ngọt có 6 cách

Vậy có :    3 4 6 13cách chọn.

II. QUI TẮC NHÂN

Một công việc được hoàn thành bao gồm hai công đoạn A và B (hai hành động liên tiếp). Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

Ví dụ 1: Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông: đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về?

Giải

Đi từ Hồ Chí Minh đến Hà Nội có 3 cách chọn phương tiện.

Khi đi về từ Hà Nội đến HCM có 3 cách.

Vậy có :   3 3 9 cách chọn.

Ví dụ 2: Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ viên thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách bầu?

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 Trang 109

Giải

Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký.

Vậy có :    15 14 3 2730cách chọn.

3. Các dấu hiệu chia hết {kiến thức bổ sung}

 Chia hết cho 2: số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

 Chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ: 276).

 Chia hết cho 4: số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512, 708).

 Chia hết cho 5: số tận cùng là 0, 5.

 Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

 Chia hết cho 8: số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824).

 Chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).

 Chia hết cho 25: số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

 Chia hết cho 10: số tận cùng là 0.

Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9.

Giải

Gọi  n abc là số cần lập.

 m aʹbʹcʹ là số gồm 3 chữ số khác nhau.

 1 1 1 mʹ a b c là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9.

Ta có : Tập các số n Tập các số m Tập các số

* Tìm m : có 5 cách chọn aʹ (vì  aʹ 0 ), có 5 cách chọn bʹ (vì  bʹ aʹ ), có 4 cách chọn cʹ ( vì

 cʹ aʹ và  cʹ bʹ ). Vậy có :  5.5.4 100 sốm.

* Tìm mʹ : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}

– Với {0,4,5}: có 2 cách chọn 1 a , 2 cách chọn 1 b , 1 cách chọn 1 c , được  2.2.1 4 số mʹ

– Với {1,3,5}: có 3! = 6 số mʹ

– Với {2,3,4}: có 3! = 6 số mʹ

– Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số mʹ

Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n.