Tài liệu chủ đề xác suất

Trang 1

CHỦ ĐỀ XÁC SUẤT

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Phép thử và Không gian mẫu

* Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) và một phép thử mà

- Kết quả của nó không đoán trước được.

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

* Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của

phép thử đó và ký hiệu là .

2) Biến cố

• Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay không

xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T.

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ

A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A.

Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A.

• Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả

bởi tập  và được ký hiệu là .

• Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố không thể

được mô tả bởi tập .

3) Các phép toán với biến cố

Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A . Giả sử A và B là hai biến cố liên quan

đến một phép thử. Ta có:

• Tập  A B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

• Tập  A B được gọi là giao của các biến cố A và B.

• Nếu  =  A B thì ta nói A và B xung khắc.

4) Xác suất của biến cố (định nghĩa cổ điển)

Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu

A là một biến cố liên quan với phép thử T và A  là một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất

của A là một số, kí hiệu là ( ) P A , được xác định bởi công thức: ( ) ( ) ( )

A n A P A n

 = =  .

Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có các bước để tính xác suất của một biến cố như sau:

• Bước 1: Xác định không gian mẫu  rồi tính số phần tử của , tức là đếm số kết quả có thể của

phép thử T.

• Bước 2: Xác định tập con A mô tả biến cố A rồi tính số phần tử của A, tức là đếm số kết quả thuận

loại cho A.

Trang 2

• Bước 3: Lấy kết quả của bước 2 chia cho bước 1.

Nhận xét: Việc tính số kết quả có thể (bước 1) thường dễ dàng hơn nhiều so với việc tính số kết quả

thuận lợi cho A (bước 1). Để giải quyết tốt các bài toàn xác suất ta cần nắm chắc phần tổ hợp trước.

Chú ý:

- Từ định nghĩa, suy ra ( ) ( ) ( ) 0 1, 1, 0   = = P A P P .

- Các kí hiệu ( ) ( ) ;  n n A được hiểu tương đương với ; A là số phần tử của không gian mẫu và của

tập hợp thuận lợi cho biến cố A.

5) Các quy tắc tính xác suất

* Quy tắc cộng (áp dụng cho các biến cố xung khắc)

− Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì ( ) ( ) ( )  = + P A B P A P B .

− Nếu các biến cố 1 2 3 , , ,... n A A A A xung khắc nhau thì

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ... ...    = + + + n n P A A A P A P A P A .

* Quy tắc nhân (áp dụng cho các biến cố độc lập)

− Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì ( ) ( ) ( ) . = P AB P A P B

− Nếu có n biến cố 1 2 3 , , ,... n A A A A là độc lập thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 ... . ... n n P A A A A P A P A P A = .

Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và B độc lập, B và A độc lập, B và A độc lập.

Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. . .

= = =

P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B

6) Xác suất của biến cố đối

Xác suất của biến cố A của biến cố A được tính bởi ( ) ( ) 1 = − P A P A .

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

Ví dụ 1. Người ta gieo hai con xúc xắc đồng chất, có màu khác nhau. Tìm các xác suất để được:

a) Hai con số khác nhau. b) Tổng của hai số bằng 6.

c) Tổng của hai số lớn hơn 9.

Lời giải:

Người ta gieo hai con xúc xắc đồng chất, có màu khác nhau. Ta có: ( )   , :1 , 6 =   i j i j (trong đó, ,i j

là kết quả xuất hiện ở 2 con xúc xắc).

Khi đó, 2 6 36 = = .

a) Gọi A là biến cố “Xuất hiện 2 con số khác nhau” 6.5 30  = = A .