Bài giảng xác suất của biến cố

Trang 1

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm biến cố và phân biệt được các biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối và

biến cố độc lập.

+ HIểu được định nghĩa xác suất của biến cố và tính chất của xác suất.

+ Nắm vững công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất.

 Kĩ năng

+ Tính được xác suất của biến cố trong các bài toán xác suất cổ điển.

+ Vận dụng quy tắc tính xác suất trong các bài toán thực tế.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí

nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc

dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử

đó.

Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là

.

Ví dụ:

Phép thử: Khi ta tung một đồng xu có 2

mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết

quả của nó.

Tuy nhiên, ta lại biết chắc chắn rằng đồng

xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái:

sấp (S) hoặc ngửa (N).

Không gian mẫu của phép thử là

  ; S N  .

2. Biến cố

 Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A) liên quan tới

phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra

của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T.

Mỗi kết quả của phép thử T là cho biến cố A xảy ra

được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

 Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu

bởi A . Để đơn giản, ta có thể dùng chính chữ A để kí

hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A.

Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A.

 Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực

hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập

 và được kí hiệu là .

 Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra

khi thực hiện phép thử T. Biến cố không thể được mô tả

bởi tập .

Các phép toán trên biến cố

 Tập \ A  được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí

hiệu là A .

Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử.

Ta có:

 Tập A B  được gọi là hợp của các biến cố A và B.

 Tập A B  được gọi là giao của các biến cố A và

B.

Biến cố A: “Kết quả tung đồng xu là sấp”.

Ta có A .

TOANMATH.com Trang 3

 Nếu A B   thì ta nói A và B xung khắc.

3. Xác suất của biến cố

Định nghĩa xác suất

Giả sử phép thử T có một số hữu hạn kết quả đồng khả

năng. Khi đó xác suất của một biến cố A liên quan tới T là

tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể

 . A P A 

Trong cuộc sống khi nói về biến cố, ta thường nói biến

cố này có nhiều khả năng xảy ra, biến cố kia có ít khả năng

xảy ra, biến cố này có nhiều khả năng xảy ra hơn biến cố

kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng

cách gán cho mỗi biến cố một số không âm, nhỏ hơn hoặc

bằng 1 gọi là xác suất của biến cố.

Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có các bước để tính

xác suất của một biến cố như sau:

Bước 1. Xác định không gian mẫu  rồi tính số phần

tử của , tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T.

Bước 2. Xác định tập con A mô tả biến cố A rồi tính số

phần tử của A, tức là đếm số kết quả thuận lợi cho A.

Bước 3. Lấy kết quả của bước 2 chia cho bước 1.

Nhận xét: Việc tính số kết quả có thể (bước

1) thường dễ dàng hơn nhiều so với việc

tính số kết quả thuận lợi cho A (bước 1). Để

giải quyết tốt các bài toán xác suất ta cần

nắm chắc phần tổ hợp trước.

Từ định nghĩa cổ điển về xác suất suy ra:

    0 1; 1; 0 P A P P    

Chú ý: Các kí hiệu   ; n n A  được hiểu

tương đương với ; A  là số phần tử của

không gian mẫu và của tập hợp thuận lợi

cho biến cố A.

Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì

    P A B P A P B   

Nếu các biến cố 1 2 3 , , ,..., k A A A A đôi một xung khắc

nhau thì

        1 2 1 2 ... ... k k P A A A P A P A P A        .

Công thức tính xác suất biến cố đối

Xác suất của biến cố đối A của biến cố đối A là

Vì A A   và A A   nên theo công

thức cộng xác suất thì