Phân dạng và bài tập xác suất của biến cố

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ BÀI 1+2: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I. BIẾN CỐ 1. Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 2. Không gian mẫu Tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và ký hiệu là Ω. Ví dụ: Khi ta tung một đồng xu có 2 mặt, ta hoàn toàn không biết trước được kết quả của nó, tuy nhiên ta lại biết chắc chắn rằng đồng xu rơi xuống sẽ ở một trong 2 trạng thái: sấp (S) hoặc ngửa (N).

Không gian mẫu của phép thử là { } ; S N Ω=

3. Một biến cố A (còn gọi là sự kiện A ) liên quan tới phép thử T là biến cố mà việc xẩy ra hay không xẩy ra của nó còn tùy thuộc vào kết quả của T . Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A .

4. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi ( ) n A hoặc A Ω. Để đơn giản, ta có thể

dùng chính chữ A để kí hiệu tập hợp các kết quả thuận lợi cho A . Khi đó ta cũng nói biến cố A được mô tả bởi tập A . 5. Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra khi thực hiện hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập Ω và được ký hiệu là Ω. 6. Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅. 7. Các phép toán trên biến cố

* Tập \ A Ω được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:

* Tập A B ∪ được gọi là hợp của các biến cố A và B .

* Tập A B ∩ được gọi là giao của các biến cố A và B . * Nếu A B ∩ = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Bảng đọc ngôn ngữ biến cố.

Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố

A ⊂Ω A là biến cố A = ∅ A là biến cố không

A = Ω A là biến cố chắc chắn C A B = ∪ C là biến cố “ A hoặc B ” C A B = ∩ C là biến cố “ A và B ”

A B ∩ = ∅ A và B xung khắc

B A = A và B đối nhau

II. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT 1. Định nghĩa cổ điển của xác suất: Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng A Ω⊂Ω. Xác suất của biến cố A , kí hiệu bởi ( ) P A , được cho bởi

công thức

( ) ( ) ( ) A n A P A n = = = Ω Ω .

Chú ý:

• 0 ( ) 1 P A ≤ ≤.

• ( ) 1, ( ) 0 P P Ω= ∅= .

2. Định nghĩa thống kê của xác suất Xét phép thử ngẫu nhiên và một biến cố liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại lần phép thử và thống kê số lần xuất hiện của là . Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

.

III. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1. Quy tắc cộng a) Quy tắc cộng xác suất * Nếu hai biến cố , A B xung khắc nhau thì

( ) ( ) ( ) P A B P A P B ∪ = +

* Nếu các biến cố 1 2 3 , , ,..., k A A A A xung khắc nhau thì

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ... ... k k P A A A P A P A P A ∪ ∪ ∪ = + + +

b) Công thức tính xác suất biến cố đối

Xác suất của biến cố A của biến cố A là

( ) ( ) 1 P A P A = −

2. Quy tắc nhân xác suất

Biến cố giao Biến cố độc lập Cho biến cố A và B . Biến cố “ cả A và B đều xảy ra” kí hiệu là AB gọi là giao của hai biến cố A và B .

Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

Một cách tổng quát, cho k biến cố

1 2 3 , , ,..., k A A A A . Biến cố: “Tất cả k biến cố

1 2 3 , , ,..., k A A A A đều xảy ra”, kí hiệu là

1 2 3... k A A A A được gọi là giao của k biến cố đó.

Một cách tổng quát, cho k biến cố

1 2 3 , , ,..., k A A A A . Chúng được gọi là độc lập

với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kì trong các biến cố trên không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. Quy tắc nhân xác suất Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

Số kết quả thuận lợi cho A Số kết quả có thể xảy ra

T A N T A n

= ( ) n P A N