Chuyên đề tổ hợp và xác suất - Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

300

 Chuyên đề 11:

ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

 Vấn đề 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC k k n n n P ,A ,C

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. HOÁN VỊ Số hoán vị của n phần tử: Pn =n! 2. CHỈNH HỢP:

Số chỉnh hợp:      m n A n(n 1)(n 2)...(n m 1)

 

m n

n! A (n m)!

 Điều kiện: n  m và n, m nguyên dương 3. TỔ HỢP:

Số tổ hợp:      m n

n(n 1)(n 2)...(n m 1) C 1.2.3...m

 

m n

n! C m!(n m)!

 Điều kiện:    

n m n, m nguyên dương

Ta có công thức:

1/   m n m n n C C 2/      m 1 m m n 1 n 1 n C C C

3/      0 1 2 n n n n n n C C C ..... C 2

Số tập hợp con của tập hợp n phân tử là 2n.

B.ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Chứng minh rằng   

            k k 1 k n 1 n 1 n

n 1 1 1 1 n 2 C C C

(n, k là các số nguyên dương, k  n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải

Ta có:   

                   k k 1 n 1 n 1

n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)! . n 2 n 2 (n 1)! C C

        1 k!(n k)! . (n 1 k) (k 1) n 2 n!    k n

k!(n k)! 1 n! C

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

301

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k  {1, 2…, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Giải Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng k n C .

Từ giả thiết suy ra:  4 2 n n C 20C       2 n 5n 234 0 n 18 (vì n  4).

Do

    

k 1 18

k 18

C 18 k 1 k 1 C

 k < 9 nên        1 2 9 9 10 18 18 18 18 18 18 18 C C ... C C C ... C

Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9. Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Tính giá trị biểu thức   

4 3 n 1 n A 3A M (n 1)! , biết rằng :

        2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149

(n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ

hợp chập k của n phần tử).

Giải Điều kiện: n  3. Ta có         2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149

            (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!

 n2 + 4n  45 = 0  n = 5 hay n = 9 (loại).

suy ra M =

    4 3 6 5

6! 5! 3. A 3A 3 2! 2! 6! 6! 4 .

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:    2 2 n n n n 2P 6A P A 12 .

( n P là số hoán vị của n phần tử và k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).

Giải Ta có:    2 2 n n n n 2P 6A P A 12 (n  , n  2)

n! n! 2.n! 6. n! 12 (n 2)! (n 2)! n! n! (6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) 2 0 (n 2)! (n 2)!

     

                

6 n! 0 n! 6 n 3 n! 2 0 n(n 1) 2 0 n 2 (n 2)!

                       

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –

302

 Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. NGUYÊN TẮC ĐẾM 2 biến cố A và B A có m cách xảy ra B có n cách xảy ra 2 biến cố A và B cùng xảy ra có m  n cách Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách  Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố. 2. CHÚ Ý  Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vị hoặc một chỉnh hợp.  Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp.

XÁC SUẤT 1. KHÔNG GIAN MẪU Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Biến cố A là một tập con của không gian mẫu. 2. XÁC SUẤT Nếu các phần tử của không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra, h là số phân tử của biến cố A, n là số phân tử của không gian mẫu. Xác suất để biến cố A xảy ra:

h p(A) n

3. CÁC CÔNG THỨC  Không gian mẫu E là biến cố chắc chắn xảy ra: p(E) = 1  Biến cố  là biến cố không thể xảy ra: p () = 0  Biến cố kéo theo A  B là biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra: A  B. P(A)  p(B)  A  B là biến cố (A xảy ra hay B xảy ra). p(A  B) = p(A) + p(B)  p(A  B)  A  B là biến cố A và B cùng xảy ra  Biến cố A và B đối lập nếu không cùng xảy ra. Khi đó, ta có A  B = ; p(A  B) = 0; p(A  B) = p(A) + p(B)  Biến cố A là đối lập của A: p( A ) = 1  p(A)  Xác xuất có điều kiện:

Biến cố A …