150 bài toán nhị thức Newton và xác suất - Lê Văn Đoàn

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 113 -

Chuyên đề

Bài 1. NHỊ THỨC NEWTON

I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững

 Nhị thức Newton là khai triển tổng (hiệu) lũy thừa có dạng:

0 1 1 2 2 2 1 1

0 ( ) . . .

n n k n k k n n n n n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C ab C b − − − − −

= + = = + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ + ∑

 Nhận xét trong khai triển nhị thức: + Trong khai triển ( )n a b ± có 1 n + số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu

và số hạng cuối thì bằng nhau: k n k n n C C − = .

+ Số hạng tổng quát dạng: 1 . . k n k k n n T C a b − + = và số hạng thứ N thì 1 k N = − .

+ Trong khai triển ( )n a b − thì dấu đan nhau, nghĩa là , + rồi , − rồi , + ….…

+ Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng n. + Nếu trong khai triển nhị thức Niutơn, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:

0 1 1 1 0 1 • (1 ) 2 . n n n n x n n n n n n n n x C x C x C C C C − = + = + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ → + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ =

1 0 1 1 0 1 (1 ) ( 1) ( 1) 0.

x n n n n n n n n n n n n n x C x C x C C C C

=− − • − = − + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ − ⇒ − + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ − =

 Công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (thường cho kết hợp với khai triển):

+ Hoán vị: ! .( 1).( 2)...3.2.1, ( 1). nP n n n n n = = − − ≥ .

+ Chỉnh hợp: ( ) ! , 1 . ( )!

k n n A k n n k = ≤ ≤ − .

+ Tổ hợp: ! , (1 ) !.( )! !

k k n n A n C k n k n k k = = ≤ ≤ − và 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = .

II. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều cho trước

1) Khai triễn dạng: p q n (ax bx ) + kết hợp với việc giải phương trình chứa k k n n n A , C , P .

BT 1. Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) trong khai triễn của nhị thức:

a)

12 1 , 0. x x x   + ∀≠     ĐS: 924. b)

5 3 2 1 x x   − ⋅     ĐS: 10. −

c)

10 1 2 , 0. x x x   − ∀≠     ĐS: 8064. − d)

12 3 3 x x   + ⋅     ĐS: 924.

e)

12 1 , 0. x x x   + ∀>     ĐS: 495. f) ( )

18

5 1 2 , 0 . x x x

  + >     ĐS: 6528.

g)

7

3

4 1 , 0. x x x

  + ∀>     ĐS: 35. h)

17

4 3

3 2 1 , 0. x x x

  + ∀≠       ĐS: 24310.

BT 2. Tìm hệ số của số hạng M và cho biết đó là số hạng thứ mấy trong khai triễn nhị thức:

a) 17 (2 3 ) . x y − 8 9. M x y = ĐS: 9 8 9 17 3 .2 . . C −

b) 25 ( ) . x y + 12 13. M x y = ĐS: 13 25. C

c) 9 ( 3) . x − 4. M x = ĐS: 5 5 9 3 . . C −

TỔHỢP – XÁC SUẤT – NHỊTHỨC NEWTON 6

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600

Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 114 -

d) 11 (1 3 ) . x − 6. M x = ĐS: 6 6 11 3 . . C

e) 2 12 (3 ) . x x − 15. M x = ĐS: 9 3 12 3 . . C −

f) 2 10 ( 2 ) . x x − 16. M x = ĐS: 3360.

g)

40

2 1 , 0. x x x   + ∀≠     31. M x = ĐS: 3 40. C

h)

10 2 2 , 0. x x x   − ∀≠     11. M x = ĐS: 3 3 10 2 . . C −

i)

3 2 7 ( ) . x x −+ 2. M x = ĐS: 35.

j)

10

, 0, 0. x xy xy y y

  + ∀ ≥ ≠     6 2. M x y = ĐS: 45.

k) 2 3 5 (1 ) . x x x + + + 10. M x = ĐS: 101.

l) 5 2 10 (1 2 ) (1 3 ) . x x x x − + + 5. M x = ĐS: 3320.

m) 4 5 6 7 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) . x x x x + + + + + + + 5. M x = ĐS: 896.

BT 3. Tìm hệ số của số hạng thứ n trong khai triễn nhị thức, ứng với các trường hợp sau:

a)

5 1 , 0. x x x   + ∀≠     4. n = ĐS: 120.

b) 15 (3 ) . x − 13. n = ĐS: 12285.

c)

15 1 , 0. x x x   − ∀>     6. n = ĐS: 5 15. C

d) 25 (2 3 ) . x − 21. n = ĐS: 5 20 20 25 2 .3 . . C

BT 4. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng (dạng có điều kiện)

a) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 1 5 . n n C C = Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị

thức Newton của 3

4 2 1 , 0 5

n x x n x

  + >   −   ? ĐS: 4 7 35. C =

b) Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức 3 2 , 0,

n x x x   − ∀≠     biết n là số tự nhiên thỏa mãn

hệ thức: 6 2 4 . 454 n n n C n A − −+ = ? ĐS: 8; 1792. n = −

c) Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: 3

5 28 1 . , 0,

n x x x x

  + …