Nhị thức Newton - Đặng Thành Nam

Chuyên đề 14: Nhị thức NEWTON và ứng dụng

754 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 14:

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

756 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức khai triển nhị thức NEWTON Cho 2 số dương ,a bvà số nguyên dương n thì ta có

0 1 1

0 ( ) ...

n n k n k k n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C b  

       

0 1 1

0 ( ) ( 1) ... ( 1)

n n k k n k k n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C b  

        

Trong các công thức trên ta có + Số các số hạng là 1 n . + Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n . + Số hạng thứ 1 k trong khai triển là 1

k n k k k n T C a b   . + Các hệ số cách đều 2 số hạn đầu và cuối thì bằng nhau. Một số khai triển hay sử dụng

0 1 1

0

0 1 1

0

(1 ) ...

(1 ) ( 1) ... ( 1)

n n k k n n n n n n k

n n k k k n n n n n n n k

x C x C C x C x





     

      





Các hướng giải quyết bài toán dạng này

 Nếu bài toán cho khai triển ( )

0 0 ( ) ( ) ( )

n n a b n i a n i b i i a n i bi n n i i x x C x x C x  

       , khi đó hệ số

của m x là i n C sao cho ( ) a n i bi m    .

 Nếu bài toán đề cập đến max;min của các số hạng i n C thì xét

 Tìm max kT thì giả sử kT là lớn nhất khi đó

1

1

k k

k k

T T k T T





     

 Tìm min kT thì giả sử kT là nhỏ nhất khi đó

1

1

k k

k k

T T k T T





     

 Trong biểu thức có

1

( 1)

n

i n i

i i C



  thì dùng đạo hàm.

 Trong biểu thức có

1

( )

n

i n i

i k C



  thì nhân 2 vế với kx rồi lấy đạo hàm.

 Trong biểu thức có

1

n

k i n i

a C

 lấy x a  thích hợp.

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

757 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

 Trong biểu thức có

1

1

1

n

i n i

C i    thì lấy tích phân xác định trên đoạn [ , ] a b thích hợp.

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho khai triển 9 10 14 14 0 1 14 ( ) (1 ) (1 ) ... (1 ) ... Q x x x x a a x a x            . Tìm 9a .

Lời giải: + Hế số của 9x trong khai triển 9 10 14 ( ) (1 ) (1 ) ... (1 ) Q x x x x        là 9 9 9 9 10 11 ; ; ; C C C 9 9 9 12 13 14 ; ; C C C .

Vậy 9 9 9 9 9 10 14 ... 3003 a C C C      .

Bài 2. Tìm hệ số của 16 x trong khai triển 2 10 ( 2 ) x x  . Lời giải:

+ Ta có

10 10 2 10 2 10 20 10 10 0 0 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2) k k k k k k

k k x x C x x C x  

        

+ Chọn 20 16 4 k k     . Vậy hế số của 16 x trong khai triển là: 4 4 10( 2) C 

Bài 3. Tìm hệ số của 1008 x trong khai triển của nhị thức 2 2009 3 1 ( ) x x  .

Lời giải: + Số hạng thứ 1 k trong khai triển là

2 2009 4018 5 1 2009 2009 3 1 ( ) ( ) k k k k k kT C x C x x

    .

+ Chọn 4018 5 1008 602 k k     . Vậy hệ số của 1008 x trong khai triển là 1008 2009 C .

Bài 4. Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của

8 2 1 (1 ) x x      .

Lời giải:

+ Ta có

8 8 2 8 2 2 8 8 0 0 0 [1 (1 )] [ (1 )] ( 1)

k k k k k i i i k k k i x x C x x C x C x

  

              

Vậy hệ số của 8x trong khai triển là 8 ( 1)i k i k C C  thỏa mãn

0 8 0 2 2 8 4 3 ,

i k i i k i k k i k

                     

Vậy hệ số của 8x là: 0 4 0 2 3 2 8 4 8 3 ( 1) ( 1) 238 C C C C    .