Tính giá trị và chứng minh các biểu thức tổ hợp - Mai Ngọc Thắng

1

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍNH GIÁ TRỊBIỂU THỨC

Mai Ngọc Thắng – A1 (08-11) THPT NTMK, Tp.HCM

Chứng minh đẳng thức và tính giá trịbiểu thức trong giải tích tổhợp là một vấn đềkhá rộng, nó có mặt trong những bài thi ĐH và cảtrong các đềthi HSGQG. Với mong muốn giúp các bạn có thêm tư liệu cho việc tựhọc, đây là những kiến thức tôi có được trong quá trình luyện thi với người thầy kính yêu Vũ Vĩnh Thái và thêm một ít tôi sưu tầm được, tôi xin tổng hợp lại thành một chuyên đềnho nhỏcũng nhằm thêm mục đích là lưu trữ. Mọi góp ý xin liên hệqua email maingocthang1993@gmail.com hoặc nick yahoo blackjack2512.

I. Vài công thức cần nhớ:

_ Chỉnh hợp: ! ( )!

k n n A n k  

_ Tổhợp: ! !( )!

k n n C k n k  

_ Tính chất của tổhợp: k n k n n C C  

Hằng đẳng thức Pascal: 1 1 1 k k k n n n C C C     

_ Nhịthức Newton:

0 ( )

n n k n k k n k a b C a b 

  

Trong chuyên đềnày hầu hết là liên quan đến tổhợp nên các bạn cần nắm vững và sửdụng thuần thục 3 công thức liên quan đến tổhợp như trên và trong từng mục tôi sẽnhắc lại công thức áp dụng trong các bài tập thuộc mục đó.

II. Các phương pháp và ví dụminh họa: Các bài tập tôi nêu ra đều minh họa khá rõ cho phương pháp và sẽcó một sốbài tập đểcác bạn có thểrèn luyện lại. Tôi sẽcốgắng phân tích hướng giải ởmột sốbài toán với mong muốn giúp các bạn hiểu sâu sắc hơn vềlời giải của bài toán đó.

Cách 1: Biến đổi đồng nhất, thay các công thức tổhợp, đôi khi dùng sai phân, thường xuất phát từvếphức tạp rồi dùng một sốphép biến đổi đểđưa biểu thức vềgiống vếđơn giản.

VD1: Chứng minh các đẳng thức sau:

1. 1 1 1

k n k n

C n C n k

     ( , , ) n k N n k   2. 2 2 ( 1) ( 1) k k n n k k C n n C      ( , ,2 ) n k N k n   

3. 1 1 1

1 1 1 1 2 k k k n n n

n n C C C   

         

( , *, ) n k N n k   (ĐH B 2008)

4. 2 2 1 n k n k C C    là một sốchính phương ( , , 2) n k N n k   

2

Giải: 1. Dễdàng nhận thấy ta sẽxuất phát từvếtrái và ta biến đổi

1 ( 1)! !( )! 1 . !( 1)! ! 1

k n k n

C n k n k n C k n k n n k

         

3. Tương tựcâu 1, ta cũng sẽxuất phát từvếtrái là vếphức tạp

1 1 1

1 1 1 1 !( 1)! ( 1)!( )! 2 2 ( 1)! ( 1)!

1 !( )!( 1 1) 1 !( )!( 2) !( )! 1 . . 2 ( 1)! 2 ( 1)! !

k k n n

k n

n n k n k k n k n C C n n n

n k n k n k k n k n k n k n k n n n n n C

  

                                         

2,4. Xem như bài tập tựluyện.

VD2: (ĐHAN 2001- CĐ 2003)

1. Chứng minh với mọi 2 n  và n nguyên thì ta có: 2 2 2 2 2 3 4

1 1 1 1 1 .....

n

n A A A A n      

2. Rút gọn biểu thức:

2 3 1 1 2 1 2 3 .....

n n n n n n n n n

C C nC F C C C C      

Giải: Bài này minh họa cho ý tưởng sai phân, đó là biến đổi sốhạng tổng quát theo hiệu 2 biểu thức rồi thếgiá trịvà đơn giản từtừ. 1. Với 1,2,3,....., n n  ta có:

2 1 ( 2)! 1 1 1 ! ( 1) 1 n

n A n n n n n       

Vậy 2 2 2 2 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ..... 1 ... 1 2 2 3 1 n

n A A A A n n n n              

2. Cũng với ý tưởng sai phân nhưng ta biến đổi có hơi khác so với câu 1

1 n C n  ,

2

1 2 ! ( 1)! 2 . 1 2!( 2)! !

n

n

C n n n C n n      ,

3

2 3 ! 2!( 2)! 3 . 2 3!( 3)! !

n

n

C n n n C n n     

……………………………. 1 1

k n k n

kC n k C   

……………………………. 1 1

n n n n

nC C 

Cộng n đẳng thức trên vếtheo vếta được:

2 3 1 1 2 1 2 3 ..... ( 1) ( 2) ..... ( 1) ..... 2 1

n n n n n n n n n

C C nC F C n n n n k C C C                  

( 1) 1 2 3 ..... 2 n n n       (theo công thức tính tổng cấp sốcộng)