Thủ thuật casio tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton - Bùi Thế Việt

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

BÙI THẾ VIỆT Trang 1

BÙI THẾ VIỆT

Chuyên Đề CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

THỦ THUẬT CASIO TÌM HỆ SỐ TRONG

KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Tác giả : Bùi Thế Việt – Chuyên gia thủ thuật CASIO

A – GIỚI THIỆU :

Như chúng ta đã biết, kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017, môn Toán được

thi dưới hình thức khác là trắc nghiệm. Với 50 câu hỏi trong 180 phút cùng hàng chục

nghìn câu hỏi trắc nghiệm lấy từ ngân hàng đề thi của bộ GD&ĐT, chúng ta khó có

thể lường trước được những gì sẽ xảy ra trong kỳ thi sắp tới.

Trong các công cụ được mang vào phòng thi thì CASIO hoặc các máy tính cầm

tay khác là thiết bị không thể thiếu trong mỗi kỳ thi. Để đạt hiệu quả cao nhất thì

chúng ta cần phải biết cách sử dụng các tính năng của CASIO một cách tối đa.

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ sử dụng CASIO trong việc giải nhanh các bài

toán liên quan tới việc yêu cầu tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Lưu ý : Thủ thuật chỉ phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm.

B – Ý TƯỞNG :

Trước hết, chúng ta cần biết về công thức khai triển nhị thức Newton :

 

n n n 1 n 2 2 n 3 3 n 1 n n n n n a b a a b a b a b ... ab b 1 2 3 n 1

                                    

Với  

k n n n! C k k! n k !        

. Hoặc có thể viết gọn lại :  

n n k n k

k 0

n a b a b k





        

Vậy nếu tìm hệ số của tx trong khai triển biểu thức  

n x a  , ta chỉ cần xét :

 

n n k n k

k 0

n x a x a k





        

Hệ số của tx sẽ là t n t n x a t

         

.

Đây là cách làm thường gặp trong khi làm bài thi tự luận. Nhưng đối với trắc nghiệm,

chúng ta không quan tâm tới việc mình trình bày thế nào, quan trọng là làm sao để ra

GROUP : CASIO Luyện Thi THPT Quốc Gia

BÙI THẾ VIỆT Trang 2

đáp án chính xác và nhanh nhất. Cách làm trên sẽ vô cùng khó khăn khi xét các biểu

thức lớn như tìm hệ số 10 x của  

8 3 2 x 2x 1  

Bắt kịp xu thế, tôi (Bùi Thế Việt) mạnh dạn đưa phương pháp mà mình tự nghĩ ra chia

sẻ cho bạn đọc để giải quyết bài toán một cách khoa học hơn.

Bài toán : Tìm hệ số m x của biểu thức :

 

n t t 1 t 2 t t 1 t 2 1 0 f x a x a x a x ... a x a          

Hướng dẫn : Hệ số m x được tính bằng :

t t 1 t 2 0 1 k k k k k m

t t 1 t 2 1 0 t t 1 t 2 0

n! x .a a a ...a a k !k !k !...k !

         

Với 1 2 3 t k ,k ,k ,...,k  thỏa mãn :

0 1 2 t

1 2 3 t

k k k ... k n

k 2k 3k ... tk m

           

Nhận xét : Công thức trên có vẻ gây khó hiểu cho bạn đọc khi nhìn nó lần đầu tiên.

Tuy nhiên, hãy thử xem một vài ví dụ dưới đây để biết những gì nó mang lại như thế

nào …

Ví dụ 1 : Tìm hệ số 7 x sau khi khai triển của biểu thức :

  

10 f x 2x 3  

Hướng dẫn : Với 1 0 k ,k  , ta có hệ phương trình sau :

0 1 0

1 1

k k 10 k 3

k 7 k 7

           

Vậy     1 0 k ,k 7,3  .

Hệ số của 7 x là     0 1 k 3 k 7 7

1 0

10! 10! x 2 3 2 3 414720 k !k ! 7!3!          

Kết luận : Hệ số của 7 x là 7 x 414720    

Ví dụ 2 : Tìm hệ số 6 x sau khi khai triển của biểu thức :

 

9 2 f x 3x 2x 1   

Hướng dẫn : Với 2 1 0 k ,k ,k  , ta có hệ phương trình sau :

0 1 2

1 2

k k k 9

k 2k 6

       

Vậy        2 1 0 k ,k ,k 0,6,3 ; 1,4,4 ; 2,2,5 ; 3,0,6  . Hệ số của 6 x là :