108 bài toán tổ hợp - phương pháp

Sigma - MATHS

Nhúng lới giÊi Ănh thực am mả!

Thay cho lới nâi Ưu chúng tổi xin ph²p cĂc bÔn ồc ữủc giợi thiằu B€I TON HAY - LÍI GIƒI •P. . . cừa mởt số b i têp lỹa chồn tứ quyºn: 108 b i têp toĂn tờ hủp cho tĐt cÊ mồi ngữới . (viát tưt l Q1).

B i 5(Q1). Tổi nghắ mởt số nguyản x vợi 0 < x < 17. PhÊi cƯn ẵt nh§t bao nhiảu cƠu họi m ch¿ ữủc ph²p trÊ lới óng - sai º ngữới ta xĂc ành ữủc tổi nghắ án số n o?

Lới giÊi: CƯn 4 cƠu họi. Ta thay cho họi cĂc số tứ 1 án 16 bơng tứ 0 án 15 (thay vẳ họi cho x, ta họi cho số x −1. Vẳ lỵ do kÿ thuêt trong trẳnh b y). Ta trẳnh b y lới giÊi cho cĂc bÔn yảu tin hồc. Chuyºn cĂc số tứ 0 án 15 vã dÔng hằ ám cỡ số 2. Những vêy ta câ cĂc số 0, 1, 10, 11, 100, . . . ., 1111. Nhữ vêy chúng ta cƯn 4 æ vứa õ º biºu thà cĂc số tứ 0 án 15.CĂc dÂy kẵ tỹ cƯn x²t án l 0000, 0001, 0010, 0011, . . . ., 1110, 1111. Ch¿ cƯn °t 4 cƠu họi: - Kẵ tỹ ð và trẵ thù i l 1? (Họi nhữ vêy 4 lƯn vợi i = 1, 2, 3, 4). CƠu trÊ lới ch¿ câ thº l 0 ho°c 1. Gh²p 4 chú số ta nhên ữủc số cƯn tẳm. Ta chuyºn sang cĂch họi dÔng thổng thữớng: Chia cĂc số th nh hai nhõm A v B rỗi °t cƠu họi: Số cƯn tẳm câ trong nhõm A? Sau khi ta nhên ữủc thổng tin, ta lÔi chia phƯn câ chùa số cƯn tẳm th nh hai nhõm v tiáp tửc cƠu họi trữợc. CĂch l m n y công ch¿ ra số cƠu họi cƯn thiát l 4 v khổng thº ẵt hìn 4, vẳ mội và trẵ cƯn mởt cƠu họi º xĂc ành.

1

https://toanmath.com/

Sigma - MATHS

Lới giÊi n y câ thº têng quĂt hõa: náu câ n vêt cƯn tẳm v 2k−1 < n ≤2k thẳ cƯn k cƠu họi. Ơy công l mởt thuêt toĂn cỡ bÊn trong khoa hồc mĂy tẵnh.

B i 7(Q1). Tổi nghắ hai số giúa 1 v 10. Họi phÊi cƯn bao nhiảu cƠu họi (dÔng óng sai) º bÔn câ thº biát hai số tổi nghắ l gẳ?

Lới giÊi: CƯn 6 cƠu họi. Sỷ dửng kát quÊ cừa b i trản, ta ch¿ cƯn x²t câ bao nhiảu c°p số C10 2 = 45. Vẳ 25 < 45 < 26 nản cƯn 6 cƠu họi.

Ghi chú: Vợi cĂch ữa tờ hủp v o trong xƠy dỹng lới giÊi nhúng cổng viằc tữðng chứng nhữ vổ cũng rưc rối béng trð th nh mÔch lÔc. Viằc chồn 2 hay nhiãu hìn cĂc ç vêt khổng cán gƠy khâ khôn, vẳ ¢ câ thuêt toĂn ìn giÊn.

B i 8(Q1). Trản b n cớ 8 × 8 câ bao nhiảu hẳnh chú nhêt?

Lới giÊi: C9 2 · C9 2 = 36 · 36 = 1296. Câ nhiãu cĂch ám thú và. Ta câ thº tẵnh bơng tẵch số oÔn th¯ng nơm ngang C9 2 v số oÔn th¯ng nơm dồc C9 2. Ho°c công câ thº minh hồa lới giÊi bơng tẵch số cĂch chồn hai ữớng th¯ng nơm ngang v số cĂc cĂch chồn hai ữớng th¯ng nơm dồc.

Ghi chú: B i toĂn s³ phực tÔp v thú và hìn khi ta thay hẳnh chú nhêt bơng hẳnh vuổng: Trản b n cớ 8 × 8 câ bao nhiảu hẳnh vuổng? Cổng viằc bƠy giớ l gh²p cĂc oÔn th¯ng cũng ë d i nơm ngang vợi cĂc oÔn th¯ng cũng ë d i những nơm dồc. Ta s³ câ cổng thực - câ thº mð rởng cho b n cớ kẵch thữợc n × n:

S = 12 + 22 + · · · + 82.

B i 9(Q1). Trản giĂ câ 10 quyºn sĂch. Câ bao nhiảu cĂch º l§y xuống 3 quyºn sĂch khổng câ hai quyºn n o ¢ ùng cÔnh nhau?

Lới giÊi. Câ C8 3 cĂch chồn. Náu dòng cĂch liằt kả, b i n y tữỡng ối khâ. CĂch tiáp cên v§n · mợi sau Ơy l m cho lới giÊi trð th nh àp lung linh. Ta lởi ngữủc quy trẳnh. Thay cho viằc l§y xuống 3 quyºn sĂch, ta l m cổng viằc °t sĂch lản giĂ. B i toĂn s³ l : Trản giĂ câ 7 quyºn sĂch. Câ bao nhiảu cĂch

2

https://toanmath.com/