Nhị thức Newton và ứng dụng - Nguyễn Minh Tuấn

NHỊTHỨC NEWTON THE BINOMIAL THEOREM

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Ngày 10 tháng 12 năm 2019

Tóm tắt nội dung

Trong chương trình phổthông lớp 11 chúng ta đã được làm quen với định lý nhịthức, hay ta hay gọi là công thức nhịthức Newton theo đó là các dạng bài tập cơ bản như tìm hệsốtrong khai triển, chứng minh đẳng thức tổhợp... Tuy nhiên đi theo công thức này là các dạng toán tương đối hay và khó mà các bạn không được tìm hiểu sâu, chính vì thếmà trong chuyên đềnày, mình sẽđềcập tới gần như là đầy đủcác dạng toán các bạn có thểgặp trong đềthi THPT Quốc Gia hay đềthi học sinh giỏi cấp tỉnh mảng không chuyên, nhằm giúp các bạn có một cái nhìn bao quát nhất vềchủđềnày. Đểhoàn thành được bài viết này, không thểkhông nhắc tới sự trợgiúp và đóng góp từbạn bè của mình, xin gửi lời cảm ơn tới

1. Bạn Doãn Quang Tiến - Đại Học KHTN TP.HCM. 2. Bạn Nguyễn Mai Hoàng Anh - Trường THPT Thực Hành Cao Nguyên - Đắk Lắk 3. Bạn Ngô Nguyên Quỳnh - Đại học Sư Phạm Quy Nhơn. 4. Thầy Trần Văn Dũng - Tư Duy Mở. Trong bài viết có sửdụng tư liệu trong và ngoài nước, bạn đọc có thểxem ởphần cuối tài liệu. Mọi ý kiến đóng góp cũng như thắc mắc vui lòng gửi về NGUYỄN MINH TUẤN

1. Email. tuangenk@gmail.com. 2. Facebook. fb.com/tuankhmt.fpt 3. Fanpage. fb.com/OlympiadMathematical/

1 Kí hiệu tổhợp.

1.1 Hệsốnhịthức.

Hệsốnhịthức ký hiệu là n k

là hệsốcủa xk trong khai triển của nhịthức

(x + 1)n = n ∑ k=0

n k

xk

Ta đọc n k

là sốtổhợp n chập k (n choose k). Lưu ý rằng có một sốquốc gia ởchâu Á và trong đó có Việt Nam, các

sách trên thịtrường, cũng như trong các tài liệu thường kí hiệu là Ck n, tuy nhiên trong tài liệu này mình sẽviết theo quy

ước quốc tếlà n k

.

1.2 Công thức tổhợp.

Trong Toán học, tổhợp là cách chọn những phần tửtừmột nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứtự. Trong những trường hợp nhỏhơn có thểđếm được sốtổhợp. Ví dụcho ba loại quả, một quảtáo, một quảcam và một quảlê, có ba cách kết hợp hai loại quảtừtập hợp này: một quảtáo và một quảlê; một quảtáo và một quảcam; một quảlê và một quảcam. Theo định nghĩa, tổhợp chập k của n phần tửlà một tập con của tập hợp mẹS chứa n phần tử, tập con gồm k phần tửriêng biệt thuộc S và không sắp thứtự. Sốtổhợp chập k của n phần tửbằng với hệsốnhịthức. Ta có n k

= n(n −1) . . . (n −k + 1)

k(k −1) . . . 1 = n! k!(n −k)!

1

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

trong đó k ⩽n, nếu k > n thì kết quảbằng 0. Chú ý ởđây n! = 1.2 . . . n và quy ước 0! = 1.

2 Tam giác Pascal và sựhình thành của công thức nhịthức Newton.

2.1 Sựhình thành của công thức nhịthức.

Các trường hợp đặc biệt của định lý nhịthức đã được biết đến từít nhất là vào thếkỷthứ4 trước Công nguyên khi nhà toán học Hy Lạp Euclid đã đềcập đến trường hợp đặc biệt của định lý nhịthức cho sốmũ 2. Các hệsố nhịthức, như các đại lượng tổhợp biểu thịsốcách chọn k đối tượng trong sốn mà không thay thế, được các nhà toán học Ấn Độcổđại quan tâm. Tài liệu tham khảo sớm nhất vềvấn đềkết hợp này là Chandahsastra, một nhà thơ trữtình Ấn ĐộPingala (khoảng năm 200 trước Công nguyên), trong đó có đềcập tới một phương pháp giải quyết vấn đềnày. Nhà bình luận Halayudha từthếkỷthứ10 sau Công nguyên giải thích phương pháp này bằng cách sửdụng công cụđó là tam giác của Pascal. Vào thếkỷthứ6 sau Công nguyên, các nhà toán học Ấn

Độđã biểu thịgiá trịcủa hệsốnhịthức này theo công thức n! (nk)!k!, điều này được đưa ra trong tài liệu Lilavati

của Bhaskara vào thếkỷthứ12.

Công thức đầu tiên của định lý nhịthức và bảng các hệsốnhịthức, có thểđược tìm thấy trong một tác phẩm của Al-Karaji , được nhà toán học Al-Samaw’al trích dẫn trong tác phẩm "al-Bahir" của ông. Al-Karaji đã mô tả mô hình tam giác của các hệsốnhịthức và đưa ra lời chứng minh cho định lý nhịthức và tam giác Pascal bằng phương pháp quy nạp toán học. Khai triển nhịthức với đa thức có bậc nhỏđược biết đến trong các công trình toán học của thếkỷ13 của 2 nhà toán học Trung Quốc là Yang Hui và Chu Shih-Chieh. Năm 1544, Michael Stifel đã giới thiệu thuật ngữ"hệsốnhịthức" và chỉra cách sửdụng chúng đểbiểu diễn …