Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều - Lê Thảo

1

CHUYÊN ĐỀ :

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC VÀ ĐA GIÁC ĐỀU

Tác giả : Lê Thảo

Nhóm giáo viên Toán tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020

Trong các đề thi thử và đề minh họa của BGD&ĐT, các em học sinh gặp nhiều bài toán đếm liên

quan đến yếu tổ hình học. Bài viết sẽ giúp các em nhìn nhận và hiểu rõ cách làm các dạng bài tập

này và có hướng giải quyết khi gặp trong các đề thi.

MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG GẶP

 Cho n điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Số đường thẳng đi qua 2 điểm: ( ) 2 1 2 n n n C − = .

 Số vectơ khác 0 

nối hai điểm bất kì: 2 n A .

 Số tam giác tạo thành: 3 n C .

 Nếu trong n điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì số tứ diện được tạo thành: 4 n C

.

 Cho đa giác lồi n đỉnh:

 Số đường chéo của đa giác: 2 n C n − .

Giải thích :

Nối 2 điểm trong n đỉnh có 2 n C cách nối ( trong các cách nối này ta nối được cả cạnh và cả

đường chéo)

Suy ra số đường chéo là : 2 n C n −

 Nếu không có 3 đường chéo nào đồng qui thì số giao điểm giữa các đường chéo mà

giao điểm nằm trong đa giác là 4 n C .

Giải thích :

Cứ 1 tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác thì ta nhận thấy 2 đường chéo của đa giác sẽ cắt

nhau tại 1 điểm nằm trong đa giác. Nên số giao điểm thỏa mãn yêu cầu bằng số tứ giác.

2

Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: 3 n C .

Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác 2 cạnh còn lại là đường chéo: ( ) 4 n n − .

Giải thích :

Chọn 1 cạnh có n cách chọn

Chọn 1 điểm còn lại không kề với cạnh có 4 n − cách chọn

Nên số tam giác thỏa mãn yêu cầu là ( ) 4 n n −

Số tam giác có 2 cạnh của đa giác, 1 cạnh còn lại là đường chéo: n .

Giải thích :

Tại 1 đỉnh của đa giác có 1 tam giác như vậy, nên số tam giác thỏa mãn là n .

Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác

Công thức 1 : ( ) 3 4 n C n n n − − − .

Giải thích :

Số tam giác cần tìm = Số tam giác bất kỳ - ( Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác + Số

tam giác có 2 cạnh là cạnh đa giác)

Công thức 2 : 2 4 3 n n C −.

Giải thích :

Chọn đỉnh thứ 1 có n cách

Chọn đỉnh thứ 2,3 không kề đỉnh thứ nhất và không kề nhau, nên giữa đỉnh số 1 và số 2 có

x điểm, giữa đỉnh số 2 và số 3 có y điểm, giữa đỉnh số 3 và số 1 có z điểm và

3 x y z n + + = − ( với , , * x y z∈ )

Số bộ ( ) ; ; x y z thỏa mãn phương trình trên là : 2 4 n C −

Nên số tam giác được chọn là 2 4 n nC −

Mà mỗi trong số các tam giác này bị lặp 3 lần nên ta có số tam giác cần tìm là 2 4 3 n n C −

 Cho đa giác đều n đỉnh:

3

Trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác :

Số tam giác vuông :

Khi n chẵn: số tam giác vuông là 2

2 4. n C .

 Khi n lẻ: số tam giác vuông là 0.

Giải thích :

Khi n chẵn sô đường chéo đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là 2 n , nên số

hình chữ nhật là 2

2 n C , mà mỗi hình chữ nhật thì có 4 tam giác vuông. Nên số tam giác vuông thỏa

mãn yêu cầu là 2

2 4. n C

Khi n lẻ thì không có đường chéo nào đi qua tâm. Nên số tam giác vuông là 0

Số tam giác tù:

Khi n chẵn: số tam giác tù là 2 2 2 . n n C −.

 Khi n lẻ: số tam giác tù là

2 1 2 . n n C −.

Giải thích :

Khi n chẵn : Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ đi qua

đỉnh đối diện, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh , B C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn

đường kính ' AA , trên nửa đường tròn ta có số điểm là 2 2 n − nên số cách chọn 2 điểm là 2 2 2 n C −.

Do đó số tam giác tù là 2 2 2 . n n C −

Khi n lẻ : Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ không đi qua

đỉnh nào khác, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh , B C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn

đường kính ' AA , trên nửa đường tròn ta có số điểm là 1 2 n − nên số cách chọn 2 điểm là 2 1 2 n C −.

Do đó số tam giác tù là 2 1 2 . n n C −