Tài liệu chủ đề hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

Trang 1

CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Hoán vị

 Hoán vị không lặp

- Một tập hợp gồm n phần tử (với 1 n ). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi

là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là ! nP n 

 Hoán vị lặp

- Cho k phần tử khác nhau: 1 2 a ,a ,...,a . k Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm 1n phần tử 1, a 2n phần

tử 2, ..., k a n phần tử   1 2 ... k k a n n n n     theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và

kiểu   1 2 ,n ,..., k n n của k phần tử.

- Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu   1 2 ,n ,..., k n n của k phần tử là   1 2 3

1 2

! ; ; ... ! !... ! n

k

n P n n n n n n 

 Hoán vị vòng quanh

- Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một

hoán vị vòng quanh của n phần tử.

­ Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là  1 ! n Q n  

2) Chỉnh hợp

 Chỉnh hợp không lặp

­ Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A  1 k n   theo một thứ tự nào đó được

gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

­ Số chỉnh hợp chập k của n phần tử       ! 1 2 ... 1 !

k n

n A n n n n k n k       

Chú ý:

­ Công thức trên cũng đúng cho trường hợp 0 k  hoặc k n  .

­ Khi k n  thì ! n n n A P n  

 Chỉnh hợp lặp

­ Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều

lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập

A.

­ Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k k n A n 

3) Tổ hợp

Trang 2

­ Giả sử tập A có n phần tử   1 n  . Mỗi tập con gồm k   1 k n   phần tử của A được gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tử đã cho.

­ Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là   ! . !. !

k n

n C k n k  

­ Hai công thức quan trọng:  

  1 1 1

0

1

k n k n n

k k k n n n

C C k n

C C C k n



  

         

Chú ý (Phân biệt Chỉnh hợp và Tổ hợp):

°Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: ! k k n n A k C 

°Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự.

 Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử  chỉnh hợp

Ngược lại, là tổ hợp.

°Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử   k n  :

+) Không thứ tự, không hoàn lại: k n C

+) Có thứ tự, không hoàn lại: k n A

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Hoán vị

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a)   ! ! 3 2 ! (n 1)! n n n     b)   ! 3 ! 20

n n n   c) 3 ! 10 (n 2)!

n n   

Lời giải:

a) Điều kiện: 2 n  .

Ta có    

2 ! ! 3 . n 1 n 3 2 3 0 2 ! (n 1)! n n n n n n            

   3 1 0 3 n n n      

b) Điều kiện: 3 n  .

Ta có     

2 ! 3 ! . 1 2 20 3 2 20 20

n n n n n n n n n          

   2 3 18 0 3 6 0 6 n n n n n          

c) Điều kiện: 2 n  .

Ta có     3 3 3 2 ! 10 . n 1 10 n n n 10 0 2 !            n n n n n

   2 2 3 5 0 2 n n n n       