Các dạng bài toán đếm

Trang 1

CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN ĐẾM

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ YẾU TỐ CHIA HẾT

Phương pháp giải:

Một số dấu hiệu chia hết cần lưu ý:

 Số n chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6, 8. Ví dụ: 24; 508…

 Số n chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ví dụ: 126; 540…

 Số n chia hết cho 4 khi 2 chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 4. Ví dụ: 116; 544…

 Số n chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Ví dụ: 80, 205…

 Số n chia hết cho 6 khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.

 Số n chia hết cho 8 khi 3 chữ số cuối cùng của nó phải chia hết cho 8.

 Số n chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

 Số n chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng của nó là 0.

 Số n chia hết cho 12 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 4.

 Số n chia hết cho 15 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 5.

 Số n chia hết cho 20 khi hai chữ số tận cùng của nó là 00; 20; 40; 60 và 80

 Số n chia hết cho 25 khi hai chữ số tận cùng của nó là 25; 50; 75; và 00.

Ví dụ 1. Cho tập hợp   0;1;2;3;4;5;6;7;8  A .

a) Lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số từ A.

b) Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ A.

Lời giải:

a) Gọi số lẻ có 5 chữ số được lập từ dãy là abcde

Ta có 4 cách chọn e (vì số được lập là số lẻ), với mỗi cách chọn e lần lượt có 8 cách chọn a, 9 cách chọn b, 9 cách chọn c và 9 cách chọn d. Do đó có tổng cộng 4.8.9.9.9 23328  số thỏa mãn.

b) Gọi số chẵn có 5 chữ số được lập từ dãy là abcde (các chữ số đôi một khác nhau).

 TH1: 0  e khi đó chọn a,b,c,d và sắp xếp có 4 9 A cách do vậy có: 4 9 3024  A số.

 TH2:   2;4;6;8  e có 4 cách chọn, khi đó chọn a có 7 cách chọn, và chọn bộ 3 số b,c,e và sắp

xếp có tổng cộng 3 7 A cách. Do đó có 3 7 4.7. 5880  A

Do đó có: 8904 số chẵn được lập từ tập trên.

Ví dụ 2. Chọn tập hợp   0;1;2;3;4;5  A

a) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ A.

b) Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 từ A.

Lời giải:

Trang 2

a) Gọi số có 4 chữ số chia hết cho 5 được lập từ A có dạng abcd

Ta có: chọn a có 5 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 6 cách chọn và d có 2 cách chọn.

Khi đó có 5.6.6.2 360  số thỏa mãn YCBT.

b) Gọi số thỏa mãn YC là abcd (các chữ số đôi một khác nhau).

Số có 3 chữ số chia hết cho 3 nên có tổng 3 chữ số là số chia hết cho 3. Mặt khác số đó là số chẵn do vậy

phải có ít nhất 1 số chẵn trong 4 số. Các bộ 4 số thỏa mãn là:      0;1;2;3 ; 0;1;3;5 ; 0;3;4;5 ; 1;2;4;5

 TH1: Xét bộ 4 số là 0,1,2,3

+) Xét 0  d khi đó có 3 3 6  A số

+) Xét 2  d khi đó có: 2.2 4  số

Vậy có 10 số ở bộ này thỏa mãn

 TH2: Xét bộ số là 0,1,3,5 khi đó 0  d vậy có 3 3 1. 6  A số thỏa mãn.

 TH3: Xét bộ số 0,3,4,5 cũng có 10 số thỏa mãn như TH1.

 TH4: Xét bộ số 1,2,4,5 có 2.3.2.1 12  số thỏa mãn.

Vậy tổng cộng có: 38 số thỏa mãn YCBT.

Ví dụ 3. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:

a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.

b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.

c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.

Lời giải:

a) Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: 0 abc hoặc 2 abc hoặc 4 abc

 Với số 0 abc ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c  có 5.4.3 60  số

 Với số 2 abc hoặc 4 abc ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.

 có 4.4.3 48  số 2 abc và 48 số 4 abc

Vậy có: 60 48 48 156    số chẵn.

b) Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng 0 ab hoặc 5 ab

 Với số 0 ab ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b  có 5.4 20  số.

 Với số 5 ab ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b  có 4.4 16  số. Vậy có: 20 16  số cần tìm.

c) Gọi abclà số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó   , , a b c có thể là:   0,4,5 ,

   1,3,5 , 2,3,4

 Khi    , , 0,4,5 a b c  thì các số phải tìm là : 405,450,504,540  có 4 số.

 Khi      , , 1,3,5 2,3,4 a b c …