Tài liệu chủ đề nhị thức Niu-tơn

Trang 1

CHỦ ĐỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1) Công thức nhị thức Niu-tơn

Ta có  

0 1 1 1 1

0 . . . ... . . . . . .

n n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b    

       

2. Một số kết quả quan trọng

 Với 1, a b   ta có công thức 0 1 1 2 ... . n n n n n n n C C C C      

 Với 1; a b x   , ta có công thức  

0 1 2 2 1 . . ... . n n n n n n n x C C x C x C x      

 Với 1; , a b x   ta có công thức     0 1 2 2 3 3 1 . . . ... 1 . n n n n n n n n n x C C x C x C x C x       

 Với 1; 1, a b   ta có     0 1 0 ... 1 ... 1 . k n n k n n n n n C C C C      

3) Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của khai triển  

n a b 

- Số các hạng tử là 1 n 

- Số hạng thứ 1 k của khai triển là 1 . . k n k k k n T C a b  

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ

của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước 0 0 1 a b  );

- Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau.

- Các công thức lũy thừa thường dùng:  

.

1

1 . ;

m m n m n m n n n

n

n m m n

m

n m n n n

a a a a a a a a

a a

a a a a

                  

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

 Dạng 1. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển không có điều kiện

Phương pháp:

- Bước 1: Viết khai triển dạng tổng quát:   1 0

. . . .

n n k n k k k n k k n k n k a b C a b T C a b         

- Bước 2: Dựa vào giả thiết yêu cầu tìm hệ số của m x , giải phương trình  m f k k  

- Bước 3: Thay vào biểu thức của T và kết luận

Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển  

9 3 ? x 

Lời giải:

Trang 2

Ta có    

9 9 9 9 1 3 . . 3

k k k

k x C x



    

- Hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển sẽ là:  

9

9 3

k k T C  

- Số hạng chứa x3 tức 3 k  là  

6 3 9 3 61236 T C  

Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển  

12 2 1 ? x 

Lời giải:

Ta có         

12 12 12 12 12 12 12 1 1 2 1 . 2 . 1 1 2 . k k k k k k k

k k x C x C x  

        

- Hệ số của số hạng chứa xk trong khai triển sẽ là:    12

12 1 2 k k k T C  

- Số hạng chứa x5 tức 5 k  là: 

5 5 12 2 25344 T C  

Ví dụ 3. Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong khai triển  

12 2 3 ? x x 

Lời giải:

Ta có        

12 12 12 12 12 12 2 12 12 12 24 12 12 1 1 3 3 .3 . 1 .3 . 1 k k k k k k k k

k k x x x x x C x C x    

          

- Hệ số của số hạng chứa 24 k x  trong khai triển sẽ là:  

12 12.3 . 1

k k k T C

  

- Số hạng chứa x15 tức 24 15 9 k k     1à 9 9 12 3 . T C 

Ví dụ 4. Tìm hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển

10 2 2 ? x x       

Lời giải:

Ta có    

10 10 10 10 10 2 2 3 10 10 10 1 1

2 2 . . 2 . .

k k k k k k

k k x C x C x x x



 

 

                  

- Hệ số của số hạng chứa 3 10 k x  trong khai triển sẽ là:  

10

10 2 . k k T C  

- Số hạng chứa x11 nên có 3 10 11 7, k k     hệ số đó 1à  

3 7 10 2 . T C 

Ví dụ 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

12 1 2 ? x x       

Lời giải:

Ta có    

12 12 12 12 12 2 12 12 12 1 1

1 1 2 . 2 . 1 .2 . .

k k k k k k k

k k x C x C x x x



 

 

                  