Tuyển chọn một số bài toán đặc sắc về tổ hợp

Trang 1

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ TỔ HỢP

Câu 1. Cho triển khai ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 1 2 2 1 1 ... n n n n x x x a a x a x a x − − + + = + + + + với n là số tự nhiên và 3 n  .

Biết 2 0

768

n

k k

a

=

=  , tính 5a .

A. 5 378 a = − B. 5 252 a = − C. 5 126 a = − D. 5 378 a =

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2

2 0 0 1 2 2

1 ...

1 1 2. 1536 1 ...

n n

k k n

f a a a a

f f a f a a a a =

= + + + +  ⎯⎯→ + − = =  − = − + − +  

Hay 2 1 2 2 2 1536 5 n n n −+ = ⎯⎯→ = ⎯⎯→ hệ số ( )

5 5 4 5 10 9 1 126 a C C = − + = − . Chọn C.

Câu 2. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức

( )

2018 1 P x x x   = +    

. Tính 1009 2018 1 2 S C + .

A. 2016 2 S = B. 2017 2 S = C. 2018 2 S = D. 2019 2 S =

Lời giải:

Ta có

2018 2018

2018 2 2018 0

1 . k k

k x C x x

−

=   + =      .

Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thì 2018 2 0 1009 k k −    .

Suy ra 0 1 1008 2018 2018 2018 ... = + + + S C C C .

Suy ra 1009 0 1 1008 1009 2018 2018 2018 2018 2018 1 1 ... 2 2 + = + + + + S C C C C C

1009 0 1 1008 1009 2018 2017 1010 1009 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018 1 1 1 2 ... ... 2 2 2

k n k n n C C S C C C C C C C C C

− −   ⎯⎯⎯⎯ → + = + + + + + + + + +    

0 1 2017 2018 2018 2018 2018 2018 2018 ... 2 C C C C = + + + + = .

Vậy 1009 2017 2018 1 2 2 S C + = . Chọn B.

Câu 3. Cho khai triển ( )

2 0 1 2 1

n n n x a a x a x a x + = = + + với * n . Hỏi có bao nhiêu giá trị 2018 n  sao

cho tồn tại k thỏa mãn

1

7 15

k

k

a a +

= .

A. 21 B. 90 C. 91 D. 642

Lời giải:

Ta có ( )

0 1

n n k k n k x C x

= + = ⎯⎯→  hệ số của

kx là k n C .

Từ giả thiết 1 1

7 7 22 15 1 3 2 15 15 7 7 + +

+ + = ⎯⎯→ =  = = + +

k k n k k n

a C k k n k a C .

Trang 2

Vì * n nên ( )1 7 6 7 k k m + ⎯⎯ → = + với m .

Khi đó   21 22 2018 0;1;2;...;90 m n m m  = +  ⎯⎯⎯ → = ⎯⎯ → có 91 số. Chọn C.

Câu 4. Tìm n, biết rằng hệ số của 4x trong khai triển ( )( ) 3 2 2 3 1

n x x x x + + + bằng 804.

A. 8 n = B. 10 n = C. 12 n = D. 14 n =

Lời giải:

Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 1 1 2 1 3 1 n n n n x x x x x x x x x x + + + = + + + + + .

Do đó ( ) ( )( ) 1 2 3 4

2. 1 3. 1 2 2 3 804 804 12 2! 3! n n n

n n n n n a C C C n n − − − = + + =  + + =  = . Chọn C.

Câu 5. Cho khai triển ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 ... 1 − − − + − + + − + = n n n n n a x a x a x a x với mọi x , n và 5 n  .

Tìm n, biết 2 3 4 83 a a a n + + = .

A. 12 n = B. 13 n = C. 14 n = D. 15 n =

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 n n n n n n n n n n n n x x C x C x C x C x C − − − = − + = − + − + − + + − +     .

Vì 2 3 4 2 3 4 83 83 13 n n n a a a n C C C n n + + = ⎯⎯ → + + = ⎯⎯ →= . Chọn B.

Câu 6. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức

20 10 3 2 1 1 x x x x     − + −        

, có tất cả bao nhiêu số hạng?

A. 28 B. 29 C. 30 D. 32

Lời giải:

Ta có ( ) 20 10 20 10

3 10 3 20 20 10 2 2 0 0

1 1 1 1 k m m k k m

k m x x C x C x x x x x

− −

= =         − + − = − + −                  

( ) ( )

20 10 20 3 30 4 20 10 0 0 1 1 k m k k m m

k m C x C x − −

= = = − + −   .

Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của x:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 10,0 20 ; 2;4 , 6;7 , 10;10 20 3 30 4 4 3 10 m k k m k m m k       =  − = −  − = 

.

Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 11 3 29 + − = số hạng. Chọn B.

Câu 7. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức

1 2 2 2

n x x −   +    

có tổng số hạng thứ 3 và thứ 5

bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Số hạng thứ ( )1 k + trong khai triển là ( )

1 2 2 2

k x n k k x k n T C

− −  =    

.

Từ đó suy ra: