Bài giảng nhị thức Niu-tơn

Trang 1

BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.

+ Biết tính chất các số hạng.

 Kĩ năng

+ Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển.

+ Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn.

TOANMATH.com Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

Với mọi số thực a, b và mọi n ta có

  n a b 

0

n k n k k n k C a b 

 

0 1 1 ... ... n n k n k k n n n n n n C a C a b C a b C b        

Quy ước: 0 0 1 a b  .

Tính chất

a) Số các số hạng của khai triển bằng 1 n .

b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a

và b trong mỗi số hạng bằng n.

c) Số hạng tổng quát thứ 1 k  có dạng:

1 k n k k k n T C a b   với 0,1,2,..., k n  .

d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu

và cuối thì bằng nhau: k n k n n C C  

e) k n C đạt giá trị lớn nhất khi 1 2 n k   hay 1 2 n k  

với n lẻ; 2 n k  với n chẵn.

f) 0 1 n n n C C  , 1 1 k k k n n n C C C     .

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật:

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi

hai số 1.

- Nếu biết hàng thứ n  1 n  thì hàng thứ 1 n  tiếp

theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp

của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị

trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối

Hệ quả:

Với 1 a b  , ta có 0 1 2 ... n n n n n C C C     .

Với 1; 1 a b  , ta có:

    0 1 0 ... 1 ... 1 k n k n n n n n C C C C      

Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường

gặp

  0 1 1 1 1 ... n n n n n n n n n x C x C x C x C         .

  0 1 1 1 1 ... n n n n n n n n n x C C x C x C x         .

    0 1 1 ... 1 n n n n n n n x C C x C x      .

  0 1 1

0 2 1 1 ...

n n n k n n n n n n n k C C C C C 

          .

      0 1

0 0 1 1 1 ... 1

n n k n n k n n n n n k C C C C

         

TOANMATH.com Trang 3

hàng.

- Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy

gồm  1 n  số 0 1 2 1 , , ,..., , n n n n n n n C C C C C  .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa m x trong khai triển    n p q ax bx

Phương pháp giải

Xét khai triển:

 

n p q ax bx      0 .

n n k k k p q n k C ax bx 

 

0 .

n k n k k np pk qk n k C a b x   

  .

Số hạng chứa m x ứng với giá trị k thỏa mãn

m np np pk qk m k q p        .

Vậy hệ số của số hạng chứa m x là . k n k k n C a b  với

giá trị m np k q p    .

Nếu k không nguyên hoặc k n  thì trong khai

triển không chứa m x , hệ số phải tìm bằng 0.

Ví dụ: Cho khai triển   10 2 1 x  .

a) Tìm hệ số của 5x trong khai triển trên.

Hướng dẫn giải

Ta có    

10 10 10 10 10 0 0 2 1 . 2 2 . k k k k k

k k x C x C x

       .

Số hạng chứa 5x ứng với 5 k  .

Hệ số cần tìm là 5 5 10.2 8064 C  .

Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm

giá trị k thỏa 0 np pk qk    .

b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai

triển trên.

Hướng dẫn giải

Số hạng không chứa x ứng với 0 k  .

Hệ số cần tìm là 0 0 10.2 1 C .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn

21

2 2 x x         0 x  .

Hướng dẫn giải

Ta có số hạng tổng quát là

Chú ý:

 

. n m m n x x  ;

. m n m n x x x   ;

m m n n x x x

  ;