Tích vô hướng của 2 vector và ứng dụng - Trần Sĩ Tùng

Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng

Trang 12

O x

y

M

x

y 1 -1

1. Định nghĩa Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn α = xOM . Giaû söû M(x; y). sinα = y (tung ñoä) cosα = x (hoaønh ñoä)

tanα = y tungñoä x hoaønhñoä       (x ≠ 0)

cotα = x hoaønhñoä y tungñoä       (y ≠ 0)

Chú ý: – Nếu α tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0. – tanα chỉ xác định khi α ≠ 900, cotα chỉ xác định khi α ≠ 00 và α ≠ 1800. 2. Tính chất • Góc phụ nhau • Góc bù nhau

0

0

0

0

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

α α α α α α α α

− = − = − = − =

0

0

0

0

sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

α α α α α α α α

− = − = − − = − − = −

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4. Các hệ thức cơ bản

sin tan (cos 0) cos cos cot (sin 0) sin tan .cot 1 (sin .cos 0)

α α α α α α α α α α α α

= ≠

= ≠

= ≠

2 2

2 2

2 2

sin cos 1 1 1 tan (cos 0) cos 1 1 cot (sin 0) sin

α α

α α α

α α α

+ =

+ = ≠

+ = ≠

Chú ý: 0 sin 1; 1 cos 1 α α ≤ ≤ −≤ ≤.

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐẾN 0 180

00 300 450 600 900 1800

sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 0

cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 –1

tanα 0 3 3 1 3 || 0

cotα || 3 1 3 3 0 ||

Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ

Trang 13

Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) a b c 0 0 0 sin 0 cos0 sin90 + + b) a b c 0 0 0 cos90 sin90 sin180 + +

c) a b c 2 0 2 0 2 0 sin90 cos90 cos180 + + d) 2 0 2 0 2 0 3 sin 90 2cos 60 3tan 45 − + −

e) a a a 2 2 0 0 2 0 2 4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 ) − +

Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x x sin cos + khi x bằng 00; 450; 600. b) x x 2sin cos2 + khi x bằng 450; 300. Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) 1 sin 4 β = , β nhọn. b) 1 cos 3 α = − c) x tan 2 2 =

Baøi 4. Biết 0 6 2 sin15 4 − = . Tinh 0 0 0 cos15 , tan15 , cot15 .

Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:

a) x x 0 0 1 sin , 90 180 3 = < < . Tính x x A x x tan 3cot 1 tan cot + + = + .

b) tan 2 α = . Tính B 3 3 sin cos

sin 3cos 2sin

α α

α α α

− = + +

Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) x x x x 2 (sin cos ) 1 2sin .cos + = + b) x x x x 4 4 2 2 sin cos 1 2sin .cos + = −

c) x x x x 2 2 2 2 tan sin tan .sin − = d) x x x x 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cos + = − e) x x x x x x sin .cos (1 tan )(1 cot ) 1 2sin .cos + + = +

Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau:

a) y y y cos sin .tan + b) b b 1 cos . 1 cos + − c) a a 2 sin 1 tan +

d) x x x x

2

2 1 cos tan .cot 1 sin

− + − e) x x

x x

2 2

2 1 4sin .cos

(sin cos )

−

+

f) x x x x x 0 0 2 2 2 sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tan − + − + + −

Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 12 cos 78 cos 1 cos 89 + + + b) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 + + + Baøi 9. a)

II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng

Trang 14

O

A

B

a b

a

b

1. Góc giữa hai vectơ Cho a b , 0 ≠ . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b , = = .

Khi đó ( ) a b AOB , = với 00 ≤ AOB ≤ 1800. Chú ý: + ( ) a b ,

= 900 ⇔ a b ⊥

+ ( ) a b ,

= 00 ⇔ a b ,

cùng hướng

+ ( ) a b ,

= 1800 ⇔ a b ,

ngược hướng

+ ( ) ( ) a b b a , , = 2. Tích vô hướng của hai vectơ • Định nghĩa: ( ) a b a b a b . . .cos , = .

Đặc biệt: a a a a 2 2 . = = .

• Tính chất: Với a b c , ,

bất kì và ∀k∈R, ta có:

+ . . a b b a = ; ( ) . . a b c a b a c + = + ;

( ) ( ) ( ) . . . ka b k a b a kb = = ; 2 2 0; 0 0 a a a ≥ = ⇔ =

.

+ ( )2 2 2 2 . a b a a b b + = + + ; ( )2 2 2 2 . a b a a b b − = − + ;

( )( ) 2 2 a b a b a b − = − + . + .a b

> 0 ⇔ ( ) ,a b

nhoïn + .a b

< 0 ⇔ ( ) ,a b

tuø

.a b

= 0 ⇔ ( ) ,a b

vuoâng.

3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng • Cho a = (a1, a2), b

= (b1, b2). Khi đó: a b a b a b 1 1 2 2 . = + .

• a a a 2 2 1 2 = + ; a b a b a b a a b b

1 1 2 2

2 2 2 2 1 2 1 2

cos( , ) .

+ = + +

; a b a b a b 1 1 2 2 0 ⊥ ⇔ + =

• Cho A A B B A x y B x y ( ; ), ( ; ). Khi đó: B A B A AB x x y y 2 2 ( ) ( …