Hướng dẫn giải các dạng toán về định nghĩa vector, tổng và hiệu hai vector - Nguyễn Đăng Tuấn

ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10

 0973.637.952 Trang 1

CHƯƠNG I: VECTƠ

§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa vectơ:

 Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ

điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

 Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu : AB.

 Vectơ còn được kí hiệu là: , , , ,... a b x y .

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí

hiệu là 0 .

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều.

 Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 1.2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn EF và HG

ngược hướng.

 Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.

 Nhận xét: Ba điểm phân biệt , , A B C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC

cùng phương.

Chứng minh:

Nếu , , A B C thẳng hàng suy ra giá của , AB AC đều là đường thẳng đi qua ba điểm

, , A B C nên , AB AC cùng phương.

Ngược lại nếu , AB AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC song song hoặc

trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A nên hai đường thẳng

AB và AC trùng nhau hay ba điểm , , A B C thẳng hàng.

H G

E F

C D

A B

Hình 1.2

A

B a x

Hình 1.1

ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10

 0973.637.952 Trang 2

3. Hai vectơ bằng nhau

 Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB, kí hiệu

AB .

Vậy AB AB.

 Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CD.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ

1. Phương pháp giải.

 Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định

nghĩa

 Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là

đỉnh của tứ giác.

Lời giải:

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn , A B ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là

, AB BA. Mà từ bốn đỉnh , , , A B C D của tứ giác ta có 6 cặp điểm phân biệt do đó có 12

vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , BC CA AB.

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm đầu và điểm

cuối lấy trong điểm đã cho.

b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu và điểm cuối

lấy trong điểm đã cho.

c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu , A B.

Lời giải:

(Hình 1.4)

a) Các vectơ khác vectơ không cùng

phương với MN là

, , , , , , NM AB BA AP PA BP PB.

b) Các vectơ khác vectơ - không cùng

hướng với AB là , , AP PB NM .

C D

A B

Hình 1.3

N

M

P

A

B C

A'

B'

Hình 1.4

ThS. Nguyễn Đăng Tuấn Tài liệu dạy thêm Hình Học 10

 0973.637.952 Trang 3

c) Trên tia CB lấy điểm ' B sao cho ' BB NP

Khi đó ta có ' BB là vectơ có điểm đầu là B và bằng vectơ NP .

Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP . Trên đường thẳng đó lấy

điểm ' A sao cho ' AA cùng hướng với NP và ' AA NP.

Khi đó ta có ' AA là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP .

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối

xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của vectơ sau MD , MN .

Lời giải:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông

MAD ta có

2 2 2 2 2 2 5 2 4 a a DM AM AD a 5 2 a DM

Suy ra 5 2 a MD MD .

Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB

tại P .

Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và 3 2 2 a a PM PA AM a .

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có

2 2 2 2 2 2 3 13 2 4 a a MN NP PM a 13 2 a MN

Suy ra 13 2 a MN MN .

3. Bài tập luyện tập.

Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và …