Lý thuyết, các dạng toán và bài tập vectơ

Chương 1

VECTƠ

§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

−→ F

Hình 1.1

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Định nghĩa, sựxác định véc-tơ

Định nghĩa 1 (Véc-tơ). Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng.

Véc-tơ có điểm đầu (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B được kí hiệu là −→ AB. Véc-tơ còn được kí hiệu là −→a , −→b , −→x , −→y ,...khi không cần chỉrõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Một véc-tơ hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

△ ! Với hai điểm phân biệt A và B ta chỉcó một đoạn thẳng (AB hoặc BA), nhưng có hai véc-tơ khác nhau là −→ AB và −→ BA.

B a)

−→a

−→x

A

b) Hình 1.2

Định nghĩa 2 (Độdài véc-tơ). Độdài của đoạn thẳng AB là độdài (hay mô-đun) của véc-tơ −→ AB, kí hiệu là −→ AB . Tức là −→ AB = AB.

Đương nhiên −→ AB = −→ BA .

7

8 CHƯƠNG 1. VECTƠ

Định nghĩa 3 (Véc-tơ-không). Véc-tơ-không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Véc-tơ-không được kí hiệu là −→0 .

Ta có −→0 = −→ AA = −→ BB = ...

2. Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng

Định nghĩa 4 (Giá véc-tơ). Giá của một véc-tơ khác −→0 là đường thẳng chứa điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó.

Định nghĩa 5 (Phương, hướng véc-tơ). Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Trên hình 1.3a) ta có các véc-tơ −→ AB, −→ CD, −→ EF cùng phương. Trên hình 1.3b) ta có −→ AB và −−→ MN cùng phương, còn −→ AB và −→ MP không cùng phương. Hai véc-tơ cùng phương có thểcùng hướng hoặc ngược hướng. Chẳng hạn −→ AB và −→ CD cùng hướng, −→ AB và −→ EF ngược hướng (hình 1.3a).

A

B

C

D

E

F

Hình 1.3a)

A

B

N

M

P

Hình 1.3b)

Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉkhi hai véc-tơ −→ AB và −→ AC cùng phương. △ ! Khi nói hai véc-tơ cùng hướng hay ngược hướng thì chúng đã cùng phương. Véc-tơ −→0 cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.

3. Hai véc-tơ bằng nhau

Định nghĩa 6 (Véc-tơ bằng nhau). Hai véc-tơ gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độdài.

Chẳng hạn, nếu ABCD là hình bình hành thì −→ AB = −→ DC và −→ AD = −→ BC.

A B

C D

△ ! Khi cho trước véc-tơ −→a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho −→ OA = −→a . Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì −→ AI = −→ IB.

II. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định một véc-tơ, phương hướng của véc-tơ, độdài của véc-tơ

• Xác định một véc-tơ và xác định sựcùng phương, cùng hướng của hai véc-tơ theo định nghĩa.

• Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết đểtính độdài của một véc-tơ.

1.. CÁC ĐỊNH NGHĨA 9

Ví dụ1. Trong hình 1.4, hãy chỉra các véc-tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các véc-tơ bằng nhau.

−→a

−→b

−→x

−→y

−→z −→u

−→v

−→ w

Hình 1.4

Lời giải. + Các véc-tơ cùng phương: −→a và −→b ; −→u và −→v ; −→x , −→y , −→z và −→ w . + Các véc-tơ cùng hướng: −→a và −→b ; −→x , −→y và −→z . + Các véc-tơ ngược hướng: −→u và −→v ; −→ w và −→x ; −→ w và −→y ; −→ w và −→z . + Các véc-tơ bằng nhau: −→x = −→y .

Ví dụ2. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) Liệt kê tất cảcác véc-tơ khác véc-tơ −→0 , cùng phương với −−→ MN và có điểm đầu, điểm cuối lấy trong các điểm đã cho.

b) Liệt kê các véc-tơ khác véc-tơ −→0 , cùng hướng với −→ AB và có điểm đầu, điểm cuối lấy trong các điểm đã cho.

c) Vẽcác véc-tơ bằng véc-tơ −→ NP mà có điểm đầu là A hoặc B.

Lời giải.

a) Các véc-tơ khác véc-tơ −→0 , cùng phương với −−→ MN là −−→ NM,−→ AB,−→ BA,−→ AP,−→ PA,−→ BP,−→ PB.

b) Các véc-tơ khác véc-tơ −→0 , cùng hướng với −→ AB là −→ AP,−→ PB,−−→ NM.

c) Trên tia CB lấy điểm B′ sao cho BB′ = NP. B M C B′

P N

A A′

Khi đó ta có −→ BB′ là véc-tơ có điểm đầu là B và bằng véc-tơ −→ NP. Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP. Trên đường thẳng đó lấy điểm A′ sao cho −→ AA′

cùng hướng với −→ NP và AA′ = NP. Khi đó ta có −→ AA′ là véc-tơ có điểm đầu là A và bằng véc-tơ −→ NP.

Ví dụ3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D. Hãy tính độdài của véc-tơ −−→ MD và −−→ MN.

Lời giải.