Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Chương 2

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

§1. GIÁ TRỊLƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲTỪ0◦

ĐẾN 180◦

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Giá trịlượng giác của một góc bất kỳtừ0◦đến 180◦

Định nghĩa 1. Với mỗi góc α (0◦≤α ≤180◦), ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vịsao cho ‘ xOM = α và giảsửđiểm M có tọa độM x0;y0 . Khi đó ta định nghĩa:

• sin của góc α là y0, ký hiệu sinα = y0;

• cô-sin của góc α là x0, ký hiệu cosα = x0;

• tang của góc α là y0 x0 (x0 ̸= 0), ký hiệu tanα = y0

x0 ;

• cô-tang của góc α là x0 y0 (y0 ̸= 0), ký hiệu cotα = x0

y0 .

x

y

O −1 1

1 M

x0

y0

α

Các sốsinα,cosα,tanα,cotα được gọi là các giá trịlượng giác của góc α.

△ ! Chú ý.

• Nếu α là góc tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

• tanα chỉxác định khi α ̸= 90◦.

• cotα chỉxác định khi α ̸= 0◦và α ̸= 180◦.

Tính chất 1. Vềdấu của các giá trịlượng giác.

• sinα > 0 với 0◦< α < 180◦.

• cosα > 0 với 0◦< α < 90◦và cosα < 0 với 90◦< α < 180◦.

• tanα > 0 với 0◦< α < 90◦và tanα < 0 với 90◦< α < 180◦.

• cotα > 0 với 0◦< α < 90◦và cotα < 0 với 90◦< α < 180◦.

Như vậy, cosα,tanα,cotα luôn cùng dấu với 0◦< α < 90◦và 90◦< α < 180◦.

Tính chất 2. Mối quan hệgiữa hai góc bù nhau.

99

100 CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

• sinα = sin(180◦−α).

• cosα = −cos(180◦−α).

• tanα = −tan(180◦−α) với α ̸= 90◦.

• cotα = −cot(180◦−α) với α ̸= 0◦,180◦.

Tính chất 3. Mối quan hệgiữa hai góc phụnhau (với 0◦≤α ≤90◦).

• sin(90◦−α) = cosα.

• cos(90◦−α) = sinα.

• tan(90◦−α) = cotα với α ̸= 0◦.

• cot(90◦−α) = tanα với α ̸= 90◦.

Tính chất 4. Các công thức cơ bản.

• tanα = sinα cosα . • cotα = cosα sinα . • tanα.cotα = 1.

• sin2 α +cos2 α = 1. • 1+tan2 α = 1 cos2 α . • 1+cot2 α = 1 sin2 α .

2. Góc giữa hai vec-tơ

Định nghĩa 2. Cho hai vec-tơ −→a và −→b đều khác vec-tơ −→0 . Từmột điểm O bất kỳ, ta vẽ−→ OA = −→a và −→ OB = −→b . Góc ‘ AOB với sốđo từ0◦đến 180◦được gọi là góc giữa hai vec-tơ −→a và −→b . Ta ký hiệu góc giữa hai vec-tơ −→a và −→b là −→a ,−→b . Nếu −→a ,−→b = 90◦thì ta nói rằng −→a và −→b vuông góc với nhau, ký hiệu là −→a ⊥−→b hoặc −→b ⊥−→a .

−→b −→a

O

B

−→b

A −→a

△ ! Từđịnh nghĩa ta có −→a ,−→b = −→b ,−→a .

Tính chất 5. Nếu −→a và −→b cùng hướng thì −→a ,−→b = 0◦.

Tính chất 6. Nếu −→a và −→b ngược hướng thì −→a ,−→b = 180◦.

II. Các dạng toán

Dạng 1. Tính các giá trịlượng giác

Sửdụng các công thức cơ bản ởphần lý thuyết đểtính ra các giá trịlượng giác. △ ! Cần chú ý dấu của các giá trịlượng giác khi tính.

Ví dụ1. Cho sinα = 1

4. Tính cosα, tanα, cotα biết 0◦< α < 90◦.

Lời giải. Ta có sin2 α +cos2 α = 1 ⇒cos2 α = 1−sin2 α.

Với sinα = 1

4 thì cos2 α = 1−1

16 = 15

16.

Vì 0◦< α < 90◦nên cosα =

√

15 16 .

Từđó suy ra tanα = sinα

cosα =

√

15 15 , cotα = cosα

sinα

√

15.

1.. GIÁ TRỊLƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲTỪ0◦ĐẾN 180◦ 101

Ví dụ2. Cho cosα = −1

3. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc α.

Lời giải. Ta có sin2 α +cos2 α = 1 ⇒sin2 α = 1−cos2 α.

Với cosα = −1

3 thì sin2 α = 1−1

9 = 8

9.

Vì sinα luôn dương nên sinα = 2 √

2 3 .

Từđó suy ra tanα = sinα

cosα = −2 √

2, cotα = cosα

sinα = −

√

2 4 .

Ví dụ3. Cho tanx = 2. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc x.

Lời giải. Trước hết, ta có tanx.cotx = 1 ⇒cotx = 1 tanx = 1

2.

Mặt khác, 1+tan2 x = 1 cos2 x ⇒cos2 x = 1 1+tan2 x = 1 1+22 = 1

5.

Vì tanx và cosx cùng dấu nên cosx =

√

5 5 .

Áp dụng công thức sin2 x+cos2 x = 1 ⇒sin2 x = 1−cos2 x = 1−1

5 = 4

5. Từđó suy ra sinx = 2 √

5 5 .

Ví dụ4. Cho cotx = −3. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc x.

Lời giải. Trước hết ta có tanx.cotx = 1 ⇒tanx = 1 cotx = −1

3.

Mặt khác 1+cot2 x = 1 sin2 x ⇒sin2 x = 1 1+(−3)2 = 1

10. Suy ra sinx =

√

10 10 .

Do cotx = cosx

sinx ⇒cosx = sinx.cotx = −3 √

10 10 .

BÀI TẬP TỰLUYỆN

Bài 1. Cho cosα = −2

3. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc α.

Lời giải. Đáp số: sinα =

√

5 3 , tanα = −

√

5 2 , cotα = −2 √

5 5 .

Bài 2. Cho sinx = 3

4. Tính các giá trịlượng giác còn lại của góc x biết 90◦< x < 180◦.

Lời giải. Đáp số: cosx = −

√

7 4 , tanx = −3 …