Phân dạng và bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Trang 1/8

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chủ đề 1-GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 0 ĐẾN 0 180 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc       0 0 0 180 , ta xác định điểm M

trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho  xOM  . Giả sử điểm M có tọa độ   ; x y .

Khi đó:

y x y x y               0 0 0 sin ; cos x;tan ( 90 ); cot ( 0 , 180 )Các số

sin ,cos ,tan ,cot     được gọi là giá trị lượng giác của góc .

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó   ; M OP OQ .

Với    0 0 0 180 ta có        0 sin 1; 1 cos 1

Dấu của giá trị lượng giác:

Góc  0 0 0 90 0 180  sin + +  cos + -  tan + -  cot + - b) Tính chất • Góc phụ nhau • Góc bù nhau

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

cot(90 ) tan

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

cot(180 ) cot

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

x

y

P O

M(x;y) Q

Hình 2.1

Trang 2/8

Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800  sin

0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0

 cos

1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  3 2 –1

 tan

0 3 3 1 3 || 3 1  3 3 0

 cot || 3 1 3 3 0  3 3 1 3 ||

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản

          

 

  

  

 

 

 

 

  

  

0

0 0

0 0 0

2 2

2 0 2

2 0 0 2

sin 1) tan ( 90 ) ; cos cos 2) cot ( 0 ; 180 ) sin 3) tan .cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

4) sin cos 1 1 5) 1 tan ( 90 ) cos 1 6) 1 cot ( 0 ; 180 ) sin

Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

- Ta có OQ OP     sin , cos

Suy ra OQ OP OQ OP        2 2 2 2 2 2 sin cos

+ Nếu     0 0 0 , 90 hoặc  0 180 thì dễ dàng thấy     2 2 sin cos 1

+ Nếu     0 0 0 , 90 và  0 180 khi đó theo định lý Pitago ta có

OQ OP OQ QM OM          2 2 2 2 2 2 2 sin cos 1

Vậy ta có     2 2 sin cos 1

Mặt khác             

2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin 1 1 tan 1 cos cos cos

suy ra được 5)

Tương tự             

2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos 1 1 cot 1 sin sin sin

suy ra được 6)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1:- Tính giá trị của một biểu thức-Hai góc phụ nhau, bù nhau a)Phương pháp: Dùng bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt và góc phụ nhau, bù nhau. b) Ví dụ minh họa I- BÀI TẬP TỰ LUẬN:

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 45 30 sin 0 180 A cos cos     b) 0 0 2 tan30 cot 30 2.sin 180. B   

Trang 3/8

c) 2 0 2 0 2 0 1 sin 45 cot 60 cos 135 C g = + −

d) ( ) 0 0 0 0 0 0 cot 44 tan 46 .cos46 cot 72 .tan 72 cos44 D + = −

e) + + − + = +

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

0 2 0 sin 90 cos 120 cos 0 tg 60 cot g 135 E sin30 cos 60

Lời giải:

a)

2 2

2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 3 9 sin 45 30 sin 0 180 0 ( 1) 2 2 4 A cos cos                                   

b) 0 0 2 2 3 4 3 tan30 cot 30 2.sin 180= 3 2.0 3 3 B      

c)

2 2

2 0 2 0 2 2 0 1 2 3 1 1 s 135 cot 60 . sin 60 2 3 2 3 2

C co     = + − = − + − = −                  

d)

( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cot 44 tan 46 .cos46 2tan 46 .cos46 2sin 46 cot 72 .tan 72 1 1 2 1 1. cos44 cos44 cos44 D + = − = −= −= −=

.

e)

+ + −+ + + − + = = = + +

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0

0 2 0

1 1 1 3 1 sin 90 cos 120 cos 0 tg 60 cot g 135 1 4 E . 1 1 3 sin30 cos 60 2 4

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức của các biểu thức

a)

2 2 2 2 sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 80 . O O O O P      b) 2 2 2 2 s 10 s 70 s 20 cos 80 . O O O O Q co co co    

c) s0 s20 s40 ... s160 cos180 . O O O O O R co co co co      

d)

0 0 0 0 tan1 tan 2 tan3 ...tan89 . S 

e) = + + + + + 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 12 cos 78 cos 1 cos 89 cos 17 cos 73 . E

f) 2 2 0 2 0 2 2 0 4 4 s 60 2 180 s 30 ( , ). 3 F a co abcos b co a b    

c) = + + ∈ 2 0 2 0 2 0 sin90 cos90 cos180 ( , , ) G a b c a b c 

Lời giải: a) Do 10 80 20 70 30 60 40 50 90 O O O O O O …