Kĩ thuật phân tích bình phương hoán vị trong Bất đẳng thức - VIF

2 VIF VIF VIF VIF

Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009

I/ L I/ L I/ L I/ Lời nói ời nói ời nói ời nói đầu. ầu. ầu. ầu. Bất ñẳng thức hoán vị là những bài toán rất ñẹp bới sự phát biểu ñơn giản nhẹ nhàng của chúng. Tuy nhiên, việc giải chúng thì ngược lại, việc tìm một lời giải cho chúng vô cùng vất vả và khó khăn. Và ñối với những bài toán có 2 ñẳng thức trở lên thì mọi việc lại càng trở nên khó khăn hơn. Sau một thời gian học hỏi kinh nghiệm và tìm tòi, tôi ñã tìm ñược một kĩ thuật ñể ñánh giá cho những bất ñẳng thức hoán vị ñơn giản. Do ñộ khó của các bài toán nên ñôi khi một số lời giải có ñôi chút dài, nhưng bù lại là ta có thể làm chặt cho một số bài toán (ñây là một ñiều bất ngờ mà kĩ thuật này mang lại). Cũng xin nói thêm rằng: bất ñẳng thức hiện ñại rất phong phú với rất nhiều bài tập. Tuy nhiên với bất ñẳng thức hoán vị vòng quanh thì khác, nó rất ít nên có thể coi là những bài toán hiếm. Việc tạo ra một bất ñẳng thức ñúng ñã là khó mà ñể bất ñẳng thức ñó hay thì càng khó hơn, nên ñối với bất ñẳng thức hoán vị thì ñiều ñó lại càng khó thực hiện. Vì thế kĩ thuật này chỉ là một công cụ nhỏ nhưng lại vô cùng hữu ích ñể các bạn có thêm một hướng giải quyết các bài toán bất ñẳng thức hoán vị vòng quanh ba biến. Mặc dù bài viết ñược hoàn thành trong lúc tôi ñang cắm trại nên rất mệt, nhưng tôi vẫn cố gắng hoàn thành bài viết này trong một ngày trọng ñại 26-3-2009 (ðoàn thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh). Vì thế tôi sẽ rất hoan nghênh những sự ñóng góp, tìm tòi sáng tạo thêm cho kĩ thuật này từ phía các bạn. Mọi thắc mắc – ñóng góp ý kiến xin vui long lien hệ theo ñịa chỉ: E-mail: vnineq@yahoo.com hoặc YM: vnineq Tác gi Tác gi Tác gi Tác giả

VIF VIF VIF VIF

3 VIF VIF VIF VIF

Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009

II/ Cơ s II/ Cơ s II/ Cơ s II/ Cơ sở của kĩ thuật. ở của kĩ thuật. ở của kĩ thuật. ở của kĩ thuật. Sẽ thật bất ngờ nếu tôi nói với các bạn rằng cơ sở của kĩ thuật này là phương pháp phân tích bình phương S.O.S: là ñưa bất ñẳng thức thuần nhất ba biến a,b,c về dạng:

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b c S b c S c a S a b − + − + − ≥ ðối với bất ñẳng thức ñối xứng ba biến thì việc quy về dạng chính tắc S.O.S như trên là ñơn giản giúp ta dễ dàng giải quyết bài toán. Tuy nhiên, ñối với bất ñẳng thức hoán vị vòng quanh thì cách quy trên ñôi khi không thích hợp và tạo ra các hệ số ; ; a b c S S S rất cồng kềnh và khó xử lí. Trong trường hợp ñó có một cách khác là quy về dạng: (Tôi tạm gọi nó là phân tích bình phương hoán vị S.O.C)

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a b c S b c S c a S a b S a b b c c a − + − + − ≥ − − − Cách quy trên có gì lợi?: - Thứ nhất: ñối với các dạng hoán vị vòng quanh thì nó tự nhiên và ñơn giản hơn cách ñưa về S.O.S chính thống. - Thứ hai: ñối với bất ñẳng thức hoán vị thì ta chỉ cần xét một trong 2 khả năng sau: + Một trong ba số là lớn nhất (giả sử là ax{a,b,c} a m = ), thì ta xét 2 trường hợp có thể xảy ra là a b c ≥ ≥ và a c b ≥ ≥. + Một trong ba ở giữa 2 số kia (giả sử là b), thì ta xét 2 trường hợp có thể xảy ra là a b c ≥ ≥ và c b a ≥ ≥. Vì vậy, nếu vế trái và S không âm thì ta chỉ xét trường hợp c b a ≥ ≥ mà bỏ qua trường hợp a b c ≥ ≥. Cuối cùng cũng xin lưu ý luôn là ñối với các bài toán sau ñây chúng ta cũng chỉ xét trường hợp c b a ≥ ≥(khi ñó 2 2 2 2 2 2 ( )( )( ) 0 a b b c c a a b b c c a ab bc ca − − − ≥ ⇒ + + ≤ + + ), còn với trường hợp a b c ≥ ≥ thì ( )( )( ) 0 S a b b c c a − − − ≤, và ta chỉ phải làm theo phương pháp truyền thống S.O.S là chứng minh bất ñẳng thức:

2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b c S b c S c a S a b − + − + − ≥