Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến PQR - Võ Thành Văn

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r

Võ Thành Văn

Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế

Nhữ cĂc bÔn ¢ biát, bĐt ¯ng thực Schur l mởt bĐt ¯ng thực mÔnh v câ nhiãu ùng dửng, tuy nhiản nâ văn cán khĂ xa lÔ vợi nhiãu bÔn hồc sinh THCS công nhữ THPT. Qua b i viát n y, tổi muốn công c§p thảm cho cĂc bÔn mởt kắ thuêt º sỷ dửng tốt BDT Schur, â l kát hủp vợi phữỡng phĂp ời bián p; q; r. Trữợc hát, tổi xin nh-c lÔi vã bĐt ¯ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r.

1 Bất đẳng thức Schur

ành lþ 1 (B§t ¯ng thùc Schur) Vîi måi sè thüc khæng ¥m a; b; c; k; ta luæn câ

ak(a b)(a c) + bk(b c)(b a) + ck(c a)(c b) 0:

Hai tr÷íng hñp quen thuëc ÷ñc sû dửng nhiãu l k = 1 v k = 2

a(a b)(a c) + b(b c)(b a) + c(c a)(c b) 0 (i)

a2(a b)(a c) + b2(b c)(b a) + c2(c a)(c b) 0 (ii)

2 Phương pháp đổi biến p; q; r

ối vợi mët số b i bĐt ¯ng thực thu¦n nh§t ối xựng câ c¡c bi¸n khổng Ơm thẳ ta câ thº ời bi¸n lÔi nhữ sau °t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V ta thu ÷ñc mët số ¯ng thực sau

ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq 3r (a + b)(b + c)(c + a) = pq r ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) = p2q 2q2 pr (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) = p2 + q a2 + b2 + c2 = p2 2q a3 + b3 + c3 = p3 3pq + 3r a4 + b4 + c4 = p4 4p2q + 2q2 + 4pr a2b2 + b2c2 + c2a2 = q2 2pr a3b3 + b3c3 + c3a3 = q3 3pqr + 3r2

a4b4 + b4c4 + c4a4 = q4 4pq2r + 2p2r2 + 4qr2

°t L = p2q2 + 18pqr 27r2 4q3 4p3r; khi â

a2b + b2c + c2a = pq 3r p

L 2 (a b)(b c)(c a) = p

L

1

3 CÁC VÍ DỤMINH HỌA

Câ thº th§y ngay lủi ½ch cừa ph÷ìng ph¡p n y l mối r ng buëc giúa c¡c bi¸n p; q; r m c¡c bi¸n a; b; c ban Ưu khổng câ nhữ

p2 3q p3 27r q2 3pr pq 9r 2p3 + 9r 7pq p2q + 3pr 4q2

p4 + 4q2 + 6pr 5p2q

Nhúng kát quÊ trản Ơy ch-c ch-n l chữa õ, cĂc bÔn câ thº phĂt triºn thảm nhiãu ¯ng thực, bĐt ¯ng thực liản hằ giúa 3 bián p; q; r. V iãu quan trồng m tổi muốn nâi án l tứ bĐt ¯ng thực (i) v (ii), ta câ

r p(4q p2)

9 (tø (i))

r (4q p2)(p2 q)

6p (tø (ii))

Tuy nhiản trong mởt số trữớng hủp thẳ câ thº cĂc Ôi lữủng 4q p2câ thº nhên giĂ trà Ơm lăn giĂ trà dữỡng nản ta thữớng sỷ dửng

r max 0; p(4q p2)

4

r max 0; (4q p2)(p2 q)

6p

Câ l³ án Ơy cĂc bÔn ¢ hiºu ữủc phƯn n o vã bĐt ¯ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián p; q; r. Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa, những trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ rỗi xem Ăp Ăn sau

3 Các ví dụminh họa

3.1 Bất đẳng thức Schur

V½ dö 1 Cho c¡c số d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng s

(a + b)3

8ab(4a + 4b + c) +

s

(b + c)3

8bc(4b + 4c + a) +

s

(c + a)3

8ca(4c + 4a + b) 1:

(Vã Th nh Vôn)

LÍI GIƒI. °t

P =

s

(a + b)3

8ab(4a + 4b + c) +

s

(b + c)3

8bc(4b + 4c + a) +

s

(c + a)3

8ca(4c + 4a + b)

Q = 8ab(4a + 4b + c) + 8bc(4b + 4c + a) + 8ca(4c + 4a + b) = 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc

•p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ P 2 Q 8(a + b + c)3

c
Võ Thành Văn

2

3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤMINH HỌA

Ta c¦n chùng minh 8(a + b + c)3 Q

, 8(a + b + c)3 32(a + b + c)(ab + bc + ca) 72abc

, (a + b + c)3 4(a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc ( óng theo b§t ¯ng thùc Schur).

Vêy ta câ pcm.

V½ dö 2 Cho c¡c số d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng

(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca):

(APMO 2004)

LÍI GIƒI. Khai triºn bĐt ¯ng thực trản, ta c¦n chùng minh

a2b2c2 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 4(a2 + b2 + c2) + 8 9(ab + bc + ca)

Ta câ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca

(a2b2 + 1) + (b2c2 + 1) + (c2a2 + 1) 2(ab + bc + ca)

a2b2c2 + 1 + 1 3 3p

a2b2c2 9abc a + b + c 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 (theo b§t ¯ng thùc Schur)

•p dửng c¡c bĐt ¯ng thực trản, ta câ

(a2b2c2 + 2) + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 3) + 4(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3(a2 + b2 + c2) 9(ab + bc + ca):

B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1:

V½ dö 3 Cho c¡c số d÷ìng a; b; c: Chùng minh r¬ng

2(a2 + b2 + c2) + abc + 8 5(a + b + c):

(Tr¦n Nam Dông)

LÍI GIƒI. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ

6V T = 12(a2 + b2 + c2) + 3(2abc + 1) + 45 5 2 3(a + b + c)

12(a2 + b2 + c2) + 9 3p

a2b2c2 + 45 5 (a + b + c)2 + 9

= 7(a2 + b2 + c2) + …