Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Trần Sĩ Tùng

Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức http://thaytoan.net

Trang 1

VẤN ĐỀ I: Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến số 1. Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra

Ví dụ 1: Cho a b 2   . Chứng minh rằng: B = a b 5 5 2   .  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy ta đặt: a x 1  . Từ giả thiết suy ra: b x 1  , ( x  R ).

Ta có: B = a b x x x x 5 5 5 5 4 2 (1 ) (1 ) 10 20 2 2          Đẳng thức xảy ra  x = 0, hay a = b = 1. Vậy B  2.

Ví dụ 2: Cho a b a 3, 1   . Chứng minh rằng: C = b a b a b 3 3 2 2 6 9 0      .

 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2. Do vậy ta đặt a x 1  , với x  0. Từ giả thiết suy ra b x 2   .

Ta có: C = b a b a b 3 3 2 2 6 9     = x x x x x 3 3 2 2 (2 ) (1 ) 6(2 ) (1 ) 9(2 )         

= x x x 3 2 2   = x x 2 ( 1) 0   (vì x  0). Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3. Vậy C  0.

Ví dụ 3: Cho a b c 3    . Chứng minh rằng: A = a b c ab bc ca 2 2 2 6       .  Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Do vậy ta đặt: a x b y 1 , 1   , ( x, y  R ). Từ giả thiết suy ra: c x y 1   .

Ta có: A = a b c ab bc ca 2 2 2     

= x y x y x y y x y x y x 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )                 

= x xy y 2 2 6    = x y y

2

2 1 3 6 6 2 4          

Đẳng thức xảy ra  y = 0 và x y 1 0 2    x = y = 0 hay a = b = c =1. Vậy A  6.

Ví dụ 4: Cho a b c d    . Chứng minh rằng: D = a b ab cd 2 2 3    .  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d. Do vậy đặt: a c x   , với x  R. Từ giả thiết suy ra b d x   .

Ta có: D = c x d x c x d x 2 2 ( ) ( ) ( )( )       = c d x cd cx dx 2 2 2     

= c d x cd cx dx cd x 2 2 2 2 1 3 2 3 4 4              = c d x x cd cd

2

2 1 3 3 3 2 4            .

Đẳng thức xảy ra  x = 0 và c d x 1 0 2    x = 0 và c = d hay a = b = c = d.

Vậy D  3cd.

Ví dụ 5: Cho a b 2   . Chứng minh rằng: a b a b 3 3 4 4    .  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy đặt a x b y 1 , 1   . Từ giả thiết suy ra x y 0   .

http://thaytoan.net Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

Trang 2

Ta có: a b a b 3 3 4 4     x y x y 3 3 4 4 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )       

 x y x y 4 4 3 3 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 0         x x y y 3 3 (1 ) (1 ) 0    

x y x y x xy y x y x y 2 2 2 2 4 4 3( )( ) 3( ) 0           ( Đúng vì x + y  0) Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a  4. Chứng minh rằng: E = a a 2(2 ) 32 0    .

 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 4. Do vậy đặt a x 4   . Từ giả thiết suy ra x  0.

Ta có: E = x x x x x x x 2 3 2 2 (4 ) (2 4 ) 10 32 ( 5) 7 0               . Đẳng thức xảy ra x = 0 hay a = 4. Vậy E  0 .

Ví dụ 7: Cho ab  1. Chứng minh rằng: a b a b 2 2    .  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = 1. Do vậy đặt a x b y 1 ; 1   . Ta có: ab  1  x y x y xy (1 )(1 ) 1 0       

Mặt khác: a b a b x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 0                

Lại có: x y xy 2 2 2   , với mọi x, y nên ta có:

x y x y x y xy x y 2 2 2 2 1 ( ) 0 2          (Đúng vì xy + x + y  0)

Đẳng thức xảy ra  x = y = 0 hay a = b = 1. Vậy BĐT được chứng minh.

2. Dạng cho biết điều kiện của tổng các biến nhưng không ( hoặc khó) dự đoán

điều kiện của biến để đẳng thức xảy ra. Đối với loại này ta cũng có thể đổi biến như trên.

Ví dụ 8: Cho a  1; a + b  3. Chứng minh rằng: F = a b ab 2 2 27 3 3 0 4    

 Đặt a = 1– x và a + b = 3 + y. Từ giả thiết suy ra x, y  0 nên ta có: b = 2 + x + y.

Từ đó : F = x x y x x y 2 2 27 3(1– ) (2 ) 3(1– )(2 ) – 4       = x y x y xy 2 2 25 5 7 4     

= x y y y

2

2 1 5 3 9 0 2 2 4 2           

Đẳng thức xảy ra  x = 5

2 và y = 0 hay a = 3 2  và b = 9

2 .

Vậy bất đẳng thức F  0 được chứng minh. …