Tuyển tập các định lí và cách chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Ngọc Tiến

CÁC CHỦĐỀVỀBẤT ĐẲNG THỨC - CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁCH CHỨNG MINH

from Hojoo Lee - translated by Nguyễn Ngọc Tiến - chưa chính thức công bố

Giới thiệu

Bất đẳng thức được sửdụng rộng rãi trong các lĩnh lực Toán học. Mục đích của tập sách hướng dẫn này nêu lên các cách chứng minh cơ bản trong lý thuyết bất đẳng thức. Đọc giảsẽgặp các bất đẳng thức cổđiển như bất đẳng thức Schur, định lý Muirhead, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức trung bình lũy thừa, bất đẳng thức AM-GM, và định lý H¨older. Tôi sẵng sàng lắng nghe ý kiến đóng góp quý báu từphía độc giả. Các bạn có thể gửi e-mail tới tôi qua địa chỉultrametric@gmail.com

Gửi tới các em học sinh - sinh viên

Các đọc giảcủa tôi là các em học sinh các trường trung học hay các sinh viên đang theo học các trường đại học. Các cách nêu ra trong tập sách này chỉlà các mẹo nhỏcủa một "khối băng khổng lồbất đẳng thức". Các em học sinh, sinh viên nên tìm ra cách giải cho riêng mình để"xửlý tốt" các bài toán đa dạng khác. Nhà toán học đại tài Hungary - Paul Erd¨os đã thú vịkhi nói rằng Thượng đếcó một quyển sách siêu việt với mọi định lý và cách chứng minh hay nhất. Tôi khuyến khích các độc giảgửi tôi các bài giải hay, đầy sáng tạo của riêng mình của các bài toán trong tập sách này. Chúc vui vẻ!

Lời tựa

Tôi rất cảm ơn Orlando D¨ohring và Darij Grinberg gởi cho tôi file Tex bộsưu tập các bất đẳng thức. Tôi cũng cảm ơn Marian Muresan vềcác bài toán hay. Tôi cũng lấy làm thú vịkhi anh Cao Minh Quang gởi tôi các bài toán Việt Nam cho các cách chứng minh hay vềbất đẳng thức Nesbitt. Tôi xin cảm tạStanley Rabinowitz đã gửi cho tôi bài báo On The Computer Solution of Symmetric Homogeneous Triangle Inequalities - Bài giải trên máy tính bất đẳng thức tam giác đối xứng thuần nhất.

I

Các tài nguyên trên Web

1. MathLinks, http://www.mathlinks.ro

2. Art of Problem Solving, http://www.artofproblemsolving.com

3. MathPro Press, http://www.mathpropress.com

4. K. S. Kedlaya, A < B, http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/s-index.html

5. T. J. Mildorf, Olympiad Inequalities, http://web.mit.edu/tmildorf/www

II

Mục lục

trang

Mục lục III

Chương 1: Bất đẳng thức Hình học 1 1.1 Phép thếRavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Các phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các ứng dụng của SốPhức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chương 2: Bốn cách chứng minh cơ bản 16 2.1 Phép thay thếlượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phép thay thếĐại Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Định lý hàm tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Thiết lập cận mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chương 3: Thuần nhất hóa và Chuẩn hóa 36 3.1 Thuần nhất hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Bất đẳng thức Schur và Định lý Muirhead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Bất đẳng thức H¨older . . . . . . . . . . . 50

Chương 4: Tính lồi 56 4.1 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Các trung bình lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Bất đẳng thức Trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Bất đẳng thức áp dụng đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Chương 5: Bài Toán 68 5.1 Các bất đẳng thức đa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2 Các bài toán trong hội thảo Putnam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

III