Tuyển tập bất đẳng thức trong đề thi thử Quốc gia 2016 môn Toán - Trần Tài

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 1

TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG

 Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)

 , 0, a b   thì: 2 . . a b a b   D}́u " "  xảy ra khi và chỉ khi: . a b 

 , , 0, a b c   thì: 3 3. . . . a b c a b c    D}́u " "  xảy ra khi v| chỉkhi: . a b c  

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2 . 2 2 a b a b ab a b          

v|

3 . . 3 a b c a b c            Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

 , , , , a b x y   thì:

2 2 2 2 2 ( . . ) ( )( ) . a x b y a b x y     D}́u " "  xảy ra khi và chỉ khi: a b x y  

 , , , , , , a b c x y z   thì:

2 2 2 2 2 2 2 ( . . . ) ( )( ) . a x b y c z a b c x y z       

D}́u " "  xảy ra khi v| chỉ khi: a b c x y z   

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: 2 2 2 2 . . ( )( ). a x b y a b x y    

Hệ quả. Nếu , , a b c l| c{c số thực v| , , x y z l| c{c số dương thì:

2 2 2 ( ) a b a b x y x y     v|

2 2 2 2 ( ) a b c a b c x y z x y z        : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số.

Bất đẳng thƣ́c véctơ

Xét c{c véctơ: ( ; ), ( ; ) u a b v x y   . Ta luôn có: u v u v   

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) . a b x y a x b y         D}́u " "  xảy ra khi và chỉ khi u v| v cùng hướng.

 Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp

 3 3 3 ( ) 3 ( ). x y x y xy x y       2 2 2 2 ( ) 2( ). x y z x y z xy yz zx        

 3 3 3 3 ( ) 3( )( )( ). x y z x y z x y y z z x         

 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) . x y z xyz x y z x y z xy yz zx               

 2 2 2 2 2 2 ( )( )( ) ( ). a b b c c a ab bc ca a b b c c a           ( )( )( ) ( )( ) . a b b c c a a b c ab bc ca abc         



3 3 3 2 2 2 2 2 2 2( ) 6 ( ) ( ) ( ) 2( ) a b c abc a b b c c a a b c ab bc ca a b c                    3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ). a b b c c a a b b c c a         

 2 2 2 2 2 2 .( ) . ( ) ( ) 4 2 a b ab a b a b          v|

2 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b ab     

Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thƣ́c phụ

Các đánh giá cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)

a.

2 2 2 ; ; 0 . suy ra x y z x y z xy yz zx        

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 2

b.

; ; 0 ( )( )( ) 8 . suy ra x y z x y y z z x xyz       

c.

2 2 2 2 ; ; 3( ) ( ) . suy ra x y z x y z x y z        

d.

2 2 2 2 2 2 ; ; 0 ( )( ) 3( ). suy ra x y z x y z x y z x y y z z x          

e.

2 ; ; 0 ( ) 3( ). suy ra x y z x y z xy yz zx        

f.

2 2 2 2 2 2 ; ; 0 ( ). suy ra x y z x y y z z x xyz x y z        

g.

2 ; ; 0 ( ) 3 ( ). suy ra x y z xy yz zx xyz x y z        

h.

2 2 2 2 2 2 2 ; ; 3( ) ( ) . suy ra x y z x y y z z x xy yz zx        

i.

9 ; ; ( )( ) ( )( )( ). 8

suy ra x y z x y z xy yz zx x y y z z x           

Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)

j.

3 3 3 1 ; 0 ( ) . 4

suy ra x y x y x y      

k.

2 2 1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy xy x y        

v|

2 2 1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy xy x y         

Suy ra:

1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy x y xy        

v|

1 1 2 1 1 1 1

suy ra xy x y xy         

l.

2 2 1 1 1 ; 1 1 (1 ) (1 )

suy ra x y xy x y         

m.

2 2 1 1 2 ; 0;1 1 1 1

suy ra x y xy x y           

n.

2

, 0 1 1 2 1 1 1 1

suy ra x y x y x y x y                               

Chƣ́ng minh các đánh giá cơ bản

a. Chƣ́ng minh:

2 2 2 ; ; 0 . suy ra x y z x y z xy yz zx        

Áp dụng BĐT Cauchy:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 .

2 2

x y x y xy

y z y z yz x y z xy yz zx

z x z x …