Quảng cáo

Chuyên đề bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu

Nguồn: toanmath.com

Tài liệu hướng dẫn các kỹ thuật giải bất đẳng thức và giới thiệu các bất đẳng thức cơ bản thường được sử dụng, tài liệu do thầy Nguyễn Tất Thu biên soạn. Các nội dung có trong tài liệu: Chương 1 . MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức 2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 2.1. Dự đoán dấu “=” xảy ra: Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi nào có ý nghĩa rất quan trọng. Trong một số trường hợp, việc dự đoán dấu “=” xảy ra giúp định hướng tìm lời giải. Thông thường, với các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau, với các bất đẳng thức hoán vị thì đẳng thức có khi hai biến bằng nhau, với các bất đẳng thức có biến thuộc đoạn [α; β] thì đẳng thức xả ra khi có một biến bằng α hoặc β. 2.2. Kĩ thuật chuẩn hóa [ads] Chương 2 . CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1. Bất đẳng thức AM – GM Bất đẳng thức AM − GM là bất đẳng thức cổ điển được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta biết trung bình cộng của n số thực a1, a2 ··· an là số (a1 + a2 +··· + an)/n và trung bình nhân của n số đó là (a1.a2…an)^(1/n) (với điều kiện là (a1.a2…an)^(1/n) tồn tại). Bất đẳng thức AM − GM cho chúng ta đánh giá giữa trung bình cộng của các số thực không âm và trung bình nhân của chúng. 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 3. Bất đẳng thức Schur

Xem trước nội dung

Mục lục

Chương 1. MỘT SỐVẤN ĐỀCƠ BẢN VỀBẤT ĐẲNG THỨC 3 1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức . . . . . 3 1.1.1 Sốthực dương, sốthực âm . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . 4 1.2 Một sốvấn đềcấn lưu ý khi giải bài toán vềbất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Dựđoán dấu “=” xảy ra . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔĐIỂN 13 2.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Các hệquả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức . 32 2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 33 2.2.3 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

WWW.TOANMATH.COM

2 Mục lục

2.3.1 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng . . . . . . . . . . . 46 2.3.4 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Nguyễn Tất Thu

Chương 1 MỘTSỐVẤNĐỀCƠBẢNVỀBẤTĐẲNG THỨC

1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức

1.1 Sốthực dương, sốthực âm

• Nếu x là sốthực dương, ta ký hiệu x > 0

• Nếu x là sốthực âm, ta ký hiệu x < 0

• Nếu x là sốthực dương hoặc x = 0, ta nói x là sốthực không âm, ký hiệu x ⩾0

• Nếu x là sốthực âm hoặc x = 0, ta nói x là sốthực không dương, ký hiệu x ⩽0.

1.1 Khái niệm bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1. Sốthực a được gọi là lớn hơn sốthực b, ký hiệu

a > b nếu a −b là một sốdương, tức là a −b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a. Ta có: a > b ⇔a−b > 0. Nếu a > b hoặc a = b, ta viết a ⩾b. Ta có: a ⩾b ⇔a−b ⩾0.

4 Chương 1. MỘT SỐVẤN ĐỀCƠ BẢN VỀBẤT ĐẲNG THỨC

Định nghĩa 1.2. GiảsửA, B là hai biểu thức bằng số. Khi đó các mệnh đềcó dạng: " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏhơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A ⩾B " A nhỏhơn hay bằng B " ký hiệu A ⩽B được gọi là một bất đẳng thức.

Quy ước :

• Khi nói vềmột bất đẳng thức mà không chỉrõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.

• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

1.1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Tính chất 1.1. (Tính chất bắc cầu) nếu

 

 a > b

b > c thì a > c

Tính chất 1.2. a > b ⇔a+ c > b + c

Hệquả1: a > b ⇔a−c > b −c. Hệquả2: a+ c > b ⇔a > b −c.

Tính chất 1.3.

 