Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng - Nguyễn Văn Cương

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48

Lời mởđầu

Trong bất đẳng thức cổđiển thì bất đẳng thức xoay vòng là một nội dung hay và

khó. Có những bất đẳng thức có dạng khá đơn giản nhưng phải mất hàng chục năm,

nhiều nhà toán học mới giải quyết được. Ví dụnhư bất đẳng thức Shapiro được đặt

ra vào năm 1903 bởi Neishbitt.

Với 3 sốkhông âm a, b, c chứng minh rằng:

a b + c + b c + a + c a + b ≥3

2 (đơn giản)

và dạng tổng quát:

Mởrộng với n sốa1, a2, . . . , an thì:

a1 a2 + a3 + a2 a3 + a4 + · · · + an a1 + a2 ≥n

2

Khì nào đúng, khi nào sai.

Đến năm 1954 tức là sau 52 năm, Shapiro mới tổng kết lại giảthuyết này như

sau:

1) Bất đằng thức đúng với n lẻ≤23

2) Bất đằng thức đúng với n chẵn ≤12

Còn lại sai.

Hoàn toàn tựnhiên ta thấy còn rất nhiều dạng bất đẳng thức xoay vòng khác

thì bất đẳng thức là gì, khi nào đúng, khi nào sai hoặc luôn luôn đúng. Trong bài luận

văn này chúng tôi xây dựng được một dạng bất đẳng thức xoay vòng tổng quát mà

các trường hợp riêng là những bài toán khó và rất khó có thểsửdụng trong những đề

thi học sinh giỏi.

Luận văn này gồm có 2 chương:

Chương 1: Bất đẳng thức xoay vòng (Trình bày những kết quảđã có về

các bài bất đẳng thức phân thức.)

Chương 2: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng (Xây dựng bất đẳng thức

với các trường hợp đơn giản, tổng quát bài toán)

GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 1 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48

Em xin chân thành cảm ơn các các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học trong thời

gian học tập ởtrường Khoa Học TựNhiên, các thầy cô Khoa Sư Phạm ĐH Quốc Gia

Hà Nội, các bạn trong lớp Sư phạm Toán 48. Đặc biệt là sựhướng dẫn, giúp đỡtận

tình của thầy TS Nguyễn Vũ Lương đã giúp đỡem hoàn thành khóa luận này.

GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 2 Sinh viên: Nguyễn Văn Cương

Mục lục

1 Bất đẳng thức xoay vòng 4

1.1 Bất đẳng thức Schurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Bất đẳng thức Schurs và hệquả. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Một sốbài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Sửdụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một sốdạng bất đẳng thức

xoay vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng 41

2.1 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Trường hợp 3 sốn = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Trường hợp 4 sốn = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.3 Trường hợp 5 sốn = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.4 Trường hợp 6 sốn = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.5 Trường hợp 7 sốn = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1 Một sốkiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2 Nhận xét đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.3 Trường hợp tổng quát n sốhạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3