Phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min - max - Mẫn Ngọc Quang

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

A. BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa 2 2 2 x y   . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức   3 3 2 3 P x y xy   

Bài giải         3 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 P x y xy x y x xy y xy x y xy xy            

Đặt t = x + y. ĐK : t 2  ,

2 2 2 t xy  

3 2 3 6 3 2 P t t t     , với 2 t 

Xét 3 2 3 ( ) 6 3 2 f t t t t     trên [-2,2]   2 1 ' 3 3 6; ' 0 2 t f t t t f t t         

Ta có       13 1 ; 2 1; 2 7 2 f f f    

   2,2 13 max 2 f t   khi t = 1 nên 13 max 2 P  2 2 1

2

x y

x y

      

1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2

x x

y y

                       

   2,2 min 7 f t   khi t = -2 nên minP = - 7 2 2 2

2

x y

x y

      

1 x y   

Bài 2: Cho 0  x và 0  y thỏa điều kiện 2  y x .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1    xy xy P .

Bài giải

Ta có 1 2 0

2           y x xy . Đặt xy t  , điều kiện 0 1 t  khi đó

   

    2 2 2 1 1 ' 1 1 1 1

t t P f t t f t t t t

        

Bảng biến thiên

§1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

+

3

2 1

0

1 0

P/

P

x

Vậy GTLN 2 3  P Khi 1 ;1   y x

Bài 3: Cho , 0 a b  thỏa mãn   2 2 2 2 2 a b a b   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 1 1 1 1

a b P b a a b       

Bài giải Ta có     2 2 2 2 2 2 a b a b a b ab a b       

        2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 1 1

1 1

a b a b ab a b a b a b

a b a b

         

   

 

 

2 2

2 2

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 1 1 2 2 1

a b P b a a b

a b a b a b

a b a b a b

                     

               

        

Đặt t a b  , ta có

       

4 2 2 2 2 2 4 16 a b a b a b ab a b         

Xét    4 1 1 2; 4 2 1 t f t t t t        ta được

 5 inf 2 3 MinP M x khi x y    

Bài 4: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3 xy x y   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  2 2 3 3 1 1 x y xy P x y y x x y        

Bài giải Đặt     2 2 2 2 2 3 ; 2 2 3 2 6 t x y xy t x y x y xy t t t t              

Ta có

2 2 1 3 2 2 4 x y xy t t t           

Qstudy.vn Học Toán Không Tiến Bộ, Học Thầy Quang Để Thay Đổi

Suy ra      

2 2 2 2 2 3 3 12 5 1 2

x y x y xy P x y t t xy x y x y t

             

Xét hàm số 

2 12 5 2 f t t t t    với 2 t 

Ta có  2 2 ' 2 1 0, 2 f t t t t     . Suy ra hàm số  f t nghịch biến với 2 t 

  3 2 2 P f t f    

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 khi 1 x y  .

Bài 5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 2 4 ) ( 3    xy y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

2 2 2 2 3( ) 2( ) (3 4) 2015 P x y x y xy xy        .

Bài giải Với mọi số thực ,x y ta luôn có xy y x 4 ) ( 2   , nên từ điều kiện suy ra

3 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 0 1 x y x y x y xy x y x y x y                Ta biến đổi P như sau

2015 ) 4 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2           xy xy xy y x y x y x P

2015 ) ( 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 2 2 4 4 2 2 2        y x y x y x (3)

Do 2 ) ( 2 2 2 4 4 y x y x    nên từ (3) suy ra 2015 ) ( 2 ) ( 4 9 2 2 2 2 2      y x y x P .

Đặt t y x   2 2 thì 2 1  t (do )1  y x .

Xét hàm số 2015 2 4 9 ) ( 2    t t t f với 2 1  t , có 0 2 2 9 ) ('    t t f , với 2 1  t nên hàm số f(t) đồng biến

trên       ; 2 1 . Suy ra 16 32233 2 1 ) ( min

; 2 1        

       f t f

t

.

Do đó GTNN của P bằng 16 32233, đạt được khi và chỉ khi 2 1  y x

Bài 6: Cho các số dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

3 2 2 2 2 1 1 2

3 3 3 P x y x y x y      

.

Bài giải

Xét biểu thức

 

3 2 2 2 2 1 1 2

3 3 3 P x y x y x y      

Trước hết …