12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Lớp 10 chuyên Toán Quảng Bình (2012 - 2015)

Tr-ờng THPT CHUYÊN QUảNG BìNH

Đề tài nghiên cứu khoa học

PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH

BÊT §¼NG THøC

Giáo viên hƣớng dẫn : NguyÔn ChiÕn Th¾ng

Nhóm tác giả: Tập thể chuyên Toán khóa 2012-2015

- 2 -

LỜI NÓI ĐẦU

Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan

tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo

của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho

người giải. Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với

học sinh trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi

đại học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức

cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp

tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế.

Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí

thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.

Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tập thể lớp 10 Toán trường THPT

Chuyên Quảng Bình xin trình bày một số vấn đề về bất đẳng thức, một số

phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Đề tài gồm các bài viết của các

nhóm tác giả được trình bày dưới dạng các chuyên đề.

Nhóm tác giả

- 3 -

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................ 2

MỤC LỤC .................................................................................................................. 3

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM VÀ ỨNG DỤNG...................................... 7

1. Bất đẳng thức AM-GM ........................................................................................... 7

1.1. Định lí ................................................................................................................... 7

1.2. Chứng minh ........................................................................................................ 7

1.3. Các dạng thường gặp ......................................................................................... 8

2. Ví dụ.............................................................................................................................. 8

3. Bài tập tự giải ............................................................................................................23

BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI VÀ ỨNG DỤNG...................... 24

1. Bất đẳng thức Minkowski ......................................................................................24

1.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng 1 ....................................................................24

1.1.1 Định lí ..........................................................................................................24

1.1.2 Chứng minh................................................................................................24

1.2 Bất đẳng thức Minkowski dạng 2......................................................................25

1.2.1 Định lí .........................................................................................................25

1.2.2 Chứng minh................................................................................................25

2. Ví dụ.............................................................................................................................25

3. Bài tập tự giải ............................................................................................................28

BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VÀ ỨNG DỤNG ............................... 29

1. Bất đẳng thức Holder .............................................................................................29

1.1 Dạng tổng quát ....................................................................................................29

1.1.1 Định lí ..........................................................................................................29

1.1.2 Chứng minh................................................................................................29

1.2 …