Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải quyết một số bài toán cực trị

Page 1

NHÂN TỬ LAGRANGE GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI

TOÁN CỰC TRỊ - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Admin Blog Toán học – Kinh nghiệm học toán

Trong ngành tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange (đặt theo tên của nhà toán học Joseph Louis Lagrange) là một phương pháp để tìm cực tiểu hoặc cực đại địa phương của một hàm số chịu các điều kiện giới hạn. Phương pháp này chúng ta sẽ được học trong chương trình toán cao cấp của bậc đại học. Trên Internet đã có một vài bài viết nói về phương pháp này để chứng minh bất đẳng thức nhưng tuy nhiên vẫn còn tương đối nhiều bạn vẫn chưa biết đến phương pháp này. Do đó ở bài viết này mình sẽ đưa ra một ứng dụng khác của nó ngoài việc chứng minh bất đẳng thức ra thì nó còn là một công cụ khá là hữu hiệu giải quyết nhanh một số bài toán cực trị trong đề thi thử THPT Quốc Gia hiện nay đồng thời cũng giúp ích cho một số bạn còn hơi yếu về bất đẳng thức tham khảo! I. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE Khi gặp một bài toán mà chúng ta gặp điều kiện của hàm   f x,y với điều kiện ràng buộc

là   g x,y 0  . Để tìm cực trị của hàm này khi có điều kiện ràng buộc ta sẽ đi thiết lập hàm

Lagrange:

      x,y, Z f x,y .g x,y  

Trong đó  là một hằng số chưa xác định, gọi là nhân tử Lagrange.

Điều kiện cần của cực trị là hệ phương trình sau:

           

   

x x x

y y y

Z ' x,y, f ' x,y g ' x,y 0

Z ' x,y, g x, y 0 

            

Khi giải hệ phương trình này ta sẽ được bộ số   0 0 0 x ,y , là nghiệm của hệ điểm dừng.

Khi đó ta sẽ so sánh   0 0 f x ,y với   1 1 f x ,y - trong đó   1 1 x ,y là một bộ số khác thỏa mãn

điều kiện   g x,y 0  mà thông thường sẽ là các giá trị biên – để kiểm tra xem điểm dừng

là cực đại hay cực tiểu. Để hiểu rõ hơn ta sẽ đi vào các ví dụ minh họa. II. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA.

Bài 1: Cho x,y,z không âm thỏa mãn 1 x y z 9    . Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3 P x 2y 3z    . Khi đó M

n có giá trị là:

A. 27

7 B. 81

7 C. 27

14 D. 81

14

Hướng dẫn Đầu tiên ta sẽ đi thiết lập hàm Lagrange như phần giới thiệu mình đã nói. Ta có:

 

2 2 3 1 Z x,y,z x 2y 3z x y z 9             

Page 2

Điểm cực trị sẽ là nghiệm của hệ   2

2x 0

4y 0 2 1 2 4 x,y,z, ; ; ; 9z 0 81 81 27 81 1 x y z 9

                   

Khi đó thay vào biểu thức ban đầu ta sẽ được 14 P 6561 

Tiếp theo như mình đã nói ta sẽ đi so sánh giá trị này với các giá trị đặc biệt khác cụ thể ở đây sẽ là các giá trị biên. Các giá trị biên ở đây sẽ là     x 0,y 0,z 0, x,y 0,0    

    , y,z 0,0      , z,x 0,0  .

 Trường hợp 1: 1 z 0 x y 9     . Hàm Lagrange lúc này sẽ là:

 

2 2 1 Z x,y,0 x 2y x y 9           

Điểm cực trị sẽ là nghiệm của hệ phương trình

2 x 27 2x 0

1 4y 0 y 27 1 4 x y z 9 27

                     

Khi đó giá trị của 2 P 243  .

Tương tự xét với các trường hợp còn lại ta sẽ được 1 2 1 11 6 3 46 32 2 P ; ; ; ; 81 81 243 243 243

           

.

So sánh tất cả ta sẽ được

14 min P m 6561

2 maxP M 81

       

. Vậy M 81 m 7   Chọn ý A.

Nhận xét: Các bạn có thể nhận thấy rằng với cách làm này ta không hề cần phải tư duy nhiều về việc sử dụng các đánh giá bất đẳng thức như AM – GM hay Cauchy – Schwarz mà chỉ việc lập hệ rồi bấm máy CALC các giá trị đặc biệt từ đó suy ra đáp án, rất ảo diệu và đơn giản phải không nào. Nhưng tuy nhiên bài toán này mình lấy hơi khó một tẹo điểm cực trị đạt tại biên – dễ nhận thấy điều này bằng cách để ý giả thiết không âm – chứ như mình thấy thông thường trong các đề thi thử THPT Quốc gia sẽ ít khi cho đến mức thế này chủ yếu là giải hệ cực trị là đã ra kết quả rồi nên, tuy nhiên không thể biết trước được điều gì cả  ta cứ làm cẩn thận cho chắc ăn  . Để thấy rõ hơn sức mạnh của phương pháp này ta sẽ tìm hiểu tiếp ví dụ sau.

Bài 2 : Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn  

2 2 2 x y z 1 9     . Tìm giá trị nhỏ nhất của …