Tài liệu tự học bất đẳng thức và bất phương trình - Trần Quốc Nghĩa

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 1

Phần 1 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT - GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT



Phần 1. BẤT ĐẲNG THỨC. GTLT - GTNN ................................................................................ 1

Chủ đề 1. BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................................... 1

Dạng 1. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất ....................................................... 4

Dạng 2. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) ....................................................... 7

Dạng 3. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz ....................................................... 11

Dạng 4. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S ........................................................................ 12

Dạng 5. Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ ..................................................................... 13

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối .............................................................................. 14

Dạng 7. Sử dụng phương pháp làm trội ................................................................................. 15

Dạng 8. Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT ........................................................................ 16

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức ............................................................................ 18

Chủ đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................ 21

Dạng 1. Dùng tam thức bậc hai ............................................................................................. 21

Dạng 2. Dùng BĐT Cauchy ................................................................................................... 22

Dạng 3. Dùng BĐT C.B.S ...................................................................................................... 24

Dạng 4. Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối ......................................................................... 25

Dạng 5. Dùng tọa độ vectơ ................................................................................................... 26

Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN ............................................................................ 27

BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 1 .................................................................................................... 29

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 ............................................................................................. 32

Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình 2 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

1. Tính chất:

Điều kiện Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì a < b  a + c < b + c (1)

Bắc cầu a < b và b < c  a < c (2)

Nhân hai vế

c > 0 a < b  ac < bc (3a)

c < 0 a < b  ac > bc (3b)

Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều

a b a c b d c d

      

(4)

Nhân 2 vế BĐT khi biết nó dương: a > 0, c > 0

0

0

a b ac bd c d

       

(5)

Nâng lên lũy

thừa với n  

Mũ lẻ 2 1 2 1 n n a b a b      (6a)

Mũ chẵn 2 2 0 n n a b a b     (6b)

Lấy căn hai vế

0 a  a b a b    (7a)

a bất kỳ 3 3 a b a b    (7b)

Nghịch đảo

a, b cùng dấu 1 1 a b a b    (8a)

a, b khác dấu 1 1 a b a b    (8b)

 Lưu ý:

 Không có qui tắc chia hai về bất đẳng thức cùng chiều.  Ta chỉ nhân hai vế bất đẳng thức khi biết chúng dương.  Cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách biến đổi.

2. Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:

 , , 0 a b c   a b c a b    

 b c a b c      c a b c a    

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

 x x x    , với mọi số thực x

 0; ; x x x x x   , với mọi số thực x

 x a a x a     với a  0

 x a x a   hoặc x a  với a  0

 Định lí:  a, b ta có: a b a b a b      .

Tóm tắt lí thuyết

1 Chủđề