Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN - GTNN

Chủ đề 5 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

A. Kiến thức cần nhớ

1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi)

Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở

nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM

(AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)

Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin –

Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên không chính

xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng

minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này

chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy(Côsi).

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó

ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán

THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.

2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy a. Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: 1 2 n n 1 2 n x x ... x x .x ...x n    

Dạng 2: n 1 2 n 1 2 n x x ... x n. x .x ...x    

Dạng 3:

n

1 2 n 1 2 n x x ... x x .x ...x n

           

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x ... x   

+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1:

2

1 2 n 1 2 n

1 1 1 n ... x x x x x ...x      

Dạng 2:  

2 1 2 n 1 2 n

1 1 1 x x ...x ... n x x x

             

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n x x ... x   

b. Một số dạng đặc biệt n n 2  n 3  Điều kiện x, y 0  x, y, z 0 

Dạng 1 x y xy 2   3 x y z xyz 3   

Dạng 2

2 x y xy 2        

3 x y z xyz 3         

Dạng 3

1 1 4 x y x y   

  x, y 0 

1 1 1 9 x y z x y z     

  x, y, z 0 

Dạng 4  1 1 x y 4 x y         

  x, y 0 

 1 1 1 x y z 9 x y z           

  x, y, z 0 

Đẳng thức xẩy ra x y  x y z   3. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

+      

2 2 2 2 2 x y 2xy; 2 x y x y ; 2 x y x y        

+  

2

2 2 3 x y x y xy 4

   

+ 2 2 2 x y z xy yz zx     

+      

2 2 2 2 3 x y z x y z 3 xy yz zx        

+   2 2 2 2 2 2 x y y z z y xyz x y z     

+      

2 4 4 4 3 x y z xy yz zx 3xyz x y z        

B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo

chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu

đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho

một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của chọn

điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp

lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức

Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình

cộng sang trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề

dạng được đề cập.

Bài toán 1. Cho số thực a 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 A a a  

Sai lầm thường gặp là: 1 1 A a 2 a 2 a a      . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2 1 a a 1 a     , điều này không xẩy ra vì theo

giả thiết thì a 2.  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 2  . Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi …