Quảng cáo

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu

Nguồn: toanmath.com

Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Tất Thu (giáo viên Toán trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, tỉnh Đồng Nai), hướng dẫn các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số 10 chương 4: bất đẳng thức và bất phương trình và ôn thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT. A. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP 1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN. 1 Bất đẳng thức AM – GM. I. Bất đẳng thức AM – GM. II. Một số ví dụ áp dụng. III. Bài tập. 2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức. II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức. III. Các ví dụ minh họa. IV. Bài tập. 3 Một số bất đẳng thức khác. I. Bất đẳng thức Schur. 1. Bất đẳng thức Schur. 2. Các trường hợp đặc biệt. 3. Bất đẳng thức Schur mở rộng. 4. Các ví dụ. II. Bất đẳng thức Holder. 1. Bất đẳng thức Holder. 2. Trường hợp đặc biệt. 3. Ví dụ minh họa. III. Bất đẳng thức Chebyshev. 1. Bất đẳng thức Chebyshev. 2. Ví dụ minh họa. IV. Bài tập. 4 Phương pháp quy nạp. I. Lý thuyết. II. Ví dụ minh họa. 5 Phương pháp phân tích bình phương SOS. I. Lý thuyết. 1. Một số tiêu chuẩn đánh giá. 2. Một số biểu diễn cơ sở. II. Các ví dụ. III. Bài tập. 6 Phương pháp dồn biến. I. Lý thuyết. II. Ví dụ minh họa. III. Bài tập. [ads] 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI. 1 Phương pháp p, q, r. I. Lý thuyết. 1. Bất đẳng thức Schur. 2. Một số biểu diễn đa thức đối xứng ba biến qua p, q, r. 3. Một số đánh giá giữa p, q, r. II. Một số ví dụ. III. Bài tập. 2 Phương pháp sử dụng tiếp tuyến và cát tuyến. I. Lý thuyết. 1. Hàm lồi – Dấu hiệu hàm lồi. 2. Bất đẳng thức tiếp tuyến – Bất đẳng thức cát tuyến. II. Các ví dụ minh họa. III. Bài tập. 3 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ. 1 Ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc ba trong chứng minh bất đẳng thức. I. Lý thuyết. 1. Mở đầu. 2. Một số kết quả. II. Ví dụ minh họa. III. Bài tập. 2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức. I. Lý thuyết. II. Ví dụ minh họa. III. Bài tập. B. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN. 1 Bất đẳng thức AM-GM. 2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. 3 Một số bất đẳng thức khác. 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. 1 Phương pháp quy nạp. 2 Phương pháp phân tích bình phương SOS. 3 Phương pháp dồn biến. 4 Phương pháp p, q, r. 5 Phương pháp tiếp tuyến và cát tuyến. 3 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ. 1 Ứng dụng đều kiện có nghiệm của phương trình bậc ba. 2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất.

Xem trước nội dung

Mục lục

1 Các bất đẳng thức cổđiển 3 1 Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I. Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Một sốví dụáp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . 19 III. Các ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Một sốbất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Bất đẳng thức Schur mởrộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II. Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1. Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. Trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II. Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Phương pháp phân tích bình phương SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. Một sốtiêu chuẩn đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. Một sốbiểu diễn cơ sở. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II. Ví dụminh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hiện đại 53 1 Phương pháp p, q, r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.

Quảng cáo