Các bài toán min - max vận dụng cao

CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX VẬN DỤNG CAO HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2021

CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX VẬN DỤNG CAO

Sưu tầm và LATEX bởi Tư Duy Mở

Câu 1. Cho hàm sốy = f(x) có đạo hàm cấp hai trên R. Bảng biến thiên của hàm sốy = f ′(x) như sau

x f ′′(x)

f ′(x)

−1 1 3 + 0 −

1

3

2

Tìm m đểbất phương trình m + x2 ⩽f(x) + 1

3x3nghiệm đúng với mọi x ∈(0; 3).

A m < f(0). B m < f(1) −2

3. C m ⩽f(0). D m ⩽f(3).

Lời giải.

Ta có m + x2 ⩽f(x) + 1

3x3 ⇔m ⩽f(x) + 1

3x3 −x2. Xét hàm h(x) = f(x) + 1

3x3 −x2 trên (0; 3).Có

h′(x) = f ′(x) + x2 −2x. Dựa vào bảng biến thiên, ta có 1 < f ′(x) ⩽3, ∀x ∈(0; 3). Khảo sát hàm số y = x2 −2x ta có bảng biến thiên

x y′

y

0 1 3 − 0 +

0

−1 −1

3

Từbảng biến thiên ta có −1 ⩽x2 −2x < 3 với mọi x ∈(0; 3). Suy ra h′(x) = f ′(x) + x2 −2x > 0 với mọi x ∈(0; 3). Cũng từbảng biến thiên ta có hàm sốhàm sốy = f(x) có đạo hàm tại x = 0,

liên tục trên [0; 3). Do đó hàm sốh(x) = f(x) + 1

3x3 −x2 cũng liên tục trên [0; 3). Bảng biến thiên

x h′(x)

h(x)

0 3 +

h(0) h(0)

h(3) h(3)

Phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈(0; 3) ⇔m ⩽h(0) ⇔m ⩽f(0). Vậy m ⩽f(0). Chọn đáp án C □

Câu 2. Cho x2; 1

2; y2 theo thứtựlập thành một cấp sốcộng. Gọi M, m lần lượt là giá trịlớn

nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức P = √

3xy + y2. Tính S = M + m.

Tài liệu được sưu tầm và LATEX 2 h Tư duy mởtrắc nghiệm toán lý

CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX VẬN DỤNG CAO HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2021

A 1. B 3. C

√

3 2 −1

2. D 2.

Lời giải.

Do x2; 1

2; y2 theo thứtựlập thành một cấp sốcộng nên x2 + y2 = 2 · 1

2 ⇔x2 + y2 = 1 (1).

Đặt x = sin t; y = cos t, t ∈R, ta suy ra

P = √

3 sin t · cos t + cos2 t =

√

3 · sin 2t + cos 2t + 1

2 ⇔sin 2t + π

3

= P −1

2.

Suy ra −1 ⩽P −1

2 ⩽1 ⇒−1

2 ⩽P ⩽3

2.

Ta có M = 3

2 khi sin 2t + π

3

= 1 và m = −1

2 khi sin 2t + π

3

= −1.

Vậy S = M + m = 1. Chọn đáp án A □

Câu 3. Cho (S) là một mặt cầu cốđịnh có bán kính R. Một hình trụ(H) thay đổi nhưng luôn có hai đường tròn đáy nằm trên (S) Gọi V1 là thểtích của khối cầu (S) và V2 là thểtích lớn

nhất của khối trụ(H). Tính tỉsốV1

V2 .

A V1

V2 = √

2. B V1

V2 = 2. C V1

V2 = √

3. D V1

V2 = √

6.

Lời giải.

Gọi bán kính đáy hình trụlà r và chiều cao là h, ta có r2 + h2

4 = R2.

Ta có V1

V2 =

4 3πR3

πr2 · h = 4R3

3h R2 −h2

4

= 4R3

3hR2 −3

4h3 .

Xét f(h) = 3hR2 −3

4h3 ⇒f ′(h) = 3R2 −9

4h2. Ta có f ′(h) = 0 ⇔h = 2R √

3.

Ta có bảng biến thiên

h

f(h)

2R √

3

4R3√

3 3 4R3√

3 3

Vậy giá trịlớn nhất của tỉsốV1

V2 là √

3.

r

h

Chọn đáp án C □

Câu 4. Một công ty cần xây một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữnhật có thểtích 2000 m3 bằng vật liệu gạch và xi măng, đáy là hình chữnhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá vật liệu xây dựng là 500.000 đồng/ m2. Khi đó, chi phí thấp nhất gần với sốnào nhất trong các sốdưới đây?

A 495.969.987 đồng. B 495.288.088 đồng.

Tài liệu được sưu tầm và LATEX 3 h Tư duy mởtrắc nghiệm toán lý

CÁC BÀI TOÁN MIN - MAX VẬN DỤNG CAO HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2021

C 495.279.087 đồng. D 495.289.087 đồng.

Lời giải. Xét hình hộp chữnhật ABCD.A′B′C′D′ đáy ABCD có AB = a, AD = 2a; cạnh bên AA′ = b. Diện tích một đáy SABCD = 2a2. Tổng diện tích 4 mặt bên là Sxq = 6ab. Thểtích

VABCD.A′B′C′D′ = 2a2b = 2000 ⇒ab = 1000

a

Chi phí thấp nhất ⇔diện tích toàn phần là nhỏnhất. Diện tích toàn phần của hình hộp là

Stp = 4a2 + 6ab = 4a2 + 6000

a .

A B

C

D′ C′

A′

D

B′

a

2a

Ta có 4a2 + 6000

a = 4a2 + 3000

a + 3000

a ⩾3 3√

36000000.

Dấu bằng xảy ra ⇔4a2 = 3000

a ⇔a = 5 3√

6. Giá trịnhỏnhất của diện tích toàn phần là

min Stp = 100 3√

36 + 6000

5 3√

6 m2.

Suy ra chi phí nhỏnhất là S = min Stp · 500.000 ≈495.289.087 đồng. Chọn đáp án D □

Câu 5. Cho hàm sốf(x) = cos2 2x + 2 (sin x + cos x)3 −3 sin 2x + m. Sốcác giá trịm nguyên đểf 2(x) ⩽36, ∀x là

A 0. B 3. C 1. D 2.

Lời giải. Ta có cos2 2x + 2(sin x + cos x)3 −3 sin 2x + m = 1 −sin2 2x + 2(sin x + cos x)3 −3 sin 2x + m. Đặt t = sin x + cos x, t …